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应用题专题复****br/>黄山市徽州一中数学教研组
高三年级专题组
制作:凌荣寿
引言:
素质教育呼唤应用意识,近几年来的高考试题增强了对密切联系生产和生活实际的应用性问题的考查力度,突出对能力的考查——重视应用,培养应用数学的意识,培养分析问题的解决问题的能力。
分析近几年高考应用性问题不难得出,试题从实际出发提供公平背景,设问新颖、灵活,而解决这些问题所涉及的数学知识、数学思想和方法又都是高中数学大纲所要求掌握的概念、公式、定理和法则等基础知识和基本方法。
解决应用性问题的思路和方法,我们可以用示意图表示为:
实际问题
分析、联系、抽象、转化
建立数学模型(列数学关系式)
数学方法
数学结果
实际结果
回答问题
解决应用性问题的关键是读题——懂题——建立数学关系式。
例1、如图,有一块半径为R的半圆形钢板,计划剪成等腰梯形ABCD的形状,它的下底AB是⊙O的直径,,并求出它的定义域.
分析:周长(y)=2AD+CD
=2x+CD
关键是如何把CD用x来表示。
而CD=EF=AB-2AE=2R-2AE
A
B
C
D
O
E
F
要求AE,则在三角形AED中考查。
ADB是直角三角形,DE是斜边是的高
从而有y=2x+(2R- )
即y= - 2x+2R (0〈x〈R)
例2、某种商品进货单价为40元,按单价每个50元售出,,其销售量就减少一个,问零售价上涨到多少元时,这批货物能取得最高利润.
分析:利润=(零售价—进货单价)销售量
零售价
50
51
52
53
….
50+x
销售量
50
49
48
47
….
50-x
故有:设利润为 y元,零售价上涨x元
y=(50+x-40)(50-x) (其中 0〈x〈50))
y=-x2
+40x+500
即零售价上涨到70元时,这批货物能取得最高利润.
最高利润为900元.
例 3、某乡为提高当地群众的生活水平,由政府投资兴建了甲、乙两个企业,1997年该乡从甲企业获得利润320万元,从乙企业获得利润720万元。以后每年上交的利润是:,而乙企业则为上一年利润的。根据测算,该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题,达到8100万元可以达到小康水平.
(1)若以1997年为第一年,则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年,该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题?
(2)试估算2005年底该乡能否达到小康水平?为什么?
分析:本题是考虑该乡从两个企业中获得利润问题。
该乡从两个企业中获得的总利润=甲上缴利润+乙上缴利润
年份
97
(n=1)
98(n=2)
99(n=3)
2000(n=4)
…
(第n年)
甲企业
乙企业
总利润
略解:(1)设第n年该乡从两企业获得总利润为y万元。

y= +
当且仅当n=2时,即98年总利润最少为y=960万元。
故还需筹集2000-960=1040万元才能解决温饱问题。
(2)2005年时,n=9此时y=
=+
即2005年底该乡能达到小康水平。
例4、某县一中计划把一块边长为20米的等边三角形ABC的边角地辟为植物新品种实验基地,图中DE需把基地分成面积相等的两部分,D在AB上,E在AC上。
(1)   设AD=x(x≥10),ED=y,试用x表示y的函数关系式;
(2)  如果DE是灌溉输水管道的位置,为了节约,则希望它最短,DE的位置应该在哪里?如果DE是参观线路,则希望它最长,DE的位置又应该在哪里?说明现由。
分析要求y与x的函数关系式,就是找出
DE与AD的等量关系。
(1)三角形ADE中角A为600
故由余弦定理可得y、x、AE三者关系。
(2)
(II)若DE做为输水管道,则需求y的最小值。
等号成立;
解:(I)∵ΔABC的边长为20米,D在AB上,则10≤x≤20。
则
若DE做为参观线路,须求y的最大值。
令
设
当100≤t1<t2≤200时,104<t1t2<4•104,
∴t1t2-4•104<0,又t1-t2<0,t1t2>0,∴f(t1)>f(t2),
则f(t)在[100,200]上是减函数。
故若DE是输水管道的位置,则需使
若DE是参观线路,则需使x=10或20
∴当t=200,即
当t=100或t=400即x=10或20时,
当200≤t1<t2≤400时,4·104<t1t2<42•104,
∴t1t2-4•104>0,又t1-t2<0,∴f(t1)<