2016矩阵分析-第2章线性空间与线性变换2.5(讲).ppt

第2章线性空间与线性变换
主要内容: 线性空间 子空间、子空间的直和 线性变换及其矩阵表示 欧氏空间 标准正交基、子空间的正交关系 正交变换 酉空间简介
标准正交基、子空间的正交关系
四、正交子空间
五、子空间的正交补
一、正交向量组
二、标准正交基
三、正交矩阵
标准正交基、子空间的正交关系
设V为欧氏空间,非零向量
①若则是正交向量组.
②正交向量组必是线性无关向量组.
一、正交向量组
定义:
如果它们两两正交,则称之为正交向量组.
注:
标准正交基、子空间的正交关系
④维欧氏空间中正交向量组所含向量个数
③欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组.
例如: 中
线性无关.
但不是正交向量组.
标准正交基、子空间的正交关系
1. 几何空间中的情况
在直角坐标系下
是由单位向量构成的正交向量组,即
二、标准正交基
是的一组基.
设
①从
②
③
得
④
即在基下, 中的与内积有关的度量性质有
简单的表达形式.
标准正交基、子空间的正交关系
维欧氏空间中,由个向量构成的正交向量组
称为正交基;
2. 标准正交基的定义
由单位向量构成的正交基称为标准正交基.
注:
①由正交基的每个向量单位化,可得到一组标准
正交基.
标准正交基、子空间的正交关系
②维欧氏空间V中的一组基为标准正交基
③维欧氏空间V中的一组基为标准正交基
当且仅当其度量矩阵
(1)
④维欧氏空间V中标准正交基的作用:
设为V的一组标准正交基,则
标准正交基、子空间的正交关系
(i) 设
由(1) ,
(ii)
(3)
这里
(iii)
有
(2)
标准正交基、子空间的正交关系
3. 标准正交基的构造
─施密特(Schmidt)正交化过程