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随机信号分析(常建平-李林海)课后习题答案第二章习题讲解.docx
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随机信号分析(常建平-李林海)课后习题答案第二章习题讲解.docx
2-1随机过程X(t) = Acos^ot,其中“0为常数,随机变 量A服从标准高斯分布。求t = 0」o J /2s 0三个时刻X(t) 的一维概率密度?
1 饪
解:A〜N(0,1)fA(a) = -y==e 2X(t)y = A〜= x(t)o证明X(t),Y(t)的互相关函数和丫。)的自相关函数分别
为/、dRx ⑴R /、 c|2Rx ⑴
RxY(T)= -= - -— chu r
1 RxyC)= E[X(t)Y(t+ ^)]= E[x(t)(t +…。- XL)1
L 20△ ।一=Hm e「X⑴X(t +…t)-X(t)X(t+」)]
=lim Rx(…t)- RxC) = dRx3△tdt
2Ry(,)= E]X'(t)Y(t + )
「 X(t + At)_X(t) J=E Li. mY(t + t )
Lyo△ t.
=nm E[X(t + M)Y(t +,)-X(t)Y(t +。)】=|jm Rxy, RxyC ) = _ |jm RxyO RxyC A :)
A70AtAfdR Q)d2R (T)
=——怜—=dTdT
假设X(t)为宽平稳(实)过程,那么 X'(t)也是宽平稳(实)过程,且 X(t) 与X'(t)联合宽平稳。
dR (丁) dR ( .) d R ( T) d2R (T)
0Q) = -xyJ,= _x2L:
d 2T
d(-x )2-17随机过程x(t)的数学期望
E[X(t)]2+ 4,求随机过程Y(t) = tX(t)+t2的期望?
E[X'(t)] = tE[X(t)]]=+ + 4] = 2t
E [Y(t)] = 3t22-18 平稳
(1 2、过程x(t)的自相关函数
Rx (:) = 2exp —TI 2
求:①其导数 Y(t)=X,(t)的自相
关函数和方差?②X⑴和Y(t)的方差比?
-It2
=2(1 一 7 2 g 2
d2Rx0)
Ry(d = - 7d,
不含周期分量a 2 = R (。)=2
Y Y v 7a (0)=2
X X I 1
补充题:假设某个噪声电压X(t)是一个各态历经过程,它的一 个样本函数为X(t) = 2cos(t+:)求该噪声的直流分量、交流 平均功率解:直流分量E[X(t)]、交流平均功率D[X(t)]
各态历经过程可以用它的任一个样本函数的时间平均来代替整个过程的统计包
一 --r 1 T ..1 T「c Q 7ELX(t).=X(t)=吧在'X ⑴出=吧开二 2cos t-- dt = 0
;I- 〔 TRX(T) = X(t)X(t +[)= % 斤 JX(t)X(t + T)dt
=lim — |T 2cos t + —] 2cos t + t + — । dt = 2cost 丁廿2丁11 V 4 ' I 4 J.
再利用平稳过程自相关函数的性质D;X(t)]= Rx(0)-Rx(°° )=2
方法二:
D LX(t)]= ELX2(t)]-E2LX(t)]= X2(t)- X(t)X(t) = 0
2—2—1 tr 1 t r ,冗『
X (t)=lim-I X (t)dt = lim-j 2cos t+— dt = 2t* 2T jtts 2T -t L I 4 加
2-19随机过程X(t)=Vcos3t,其中V是均值和方1 t
差皆为1的随机变量。令随机过程丫⑴=ti0x(九)日 求丫⑴的均值、自相关函数、协方差函数和方差?
解:
,利用 E[JaX(t)dt] = Ja E[X(t)]dt
随机过程的积分运算与数学期望运算的次序可以互换
. 一 「1 t1 1 t1 tE Y(t)] = E 「(九)d 九=-10 E [X(九)]d九=—§ E tV lcos3x d九
一t. ttsin3t
_ 3t1t1
(t) = ; J。X (九)d九=:变上限积分1
R (t,t ) = E[Y(t )Y(t )] =E[ :xj)d 九,二/x(九,)d 九」
Y 1 212 t JO Q // t Jo x m12
=」,旧x(,)x6)]d, d,11t2 .0 P
做法二:Y(t) = - L X(^ )dz = - LV cos3九 d九=' 3t' 't。' t 03t
R (t ,t ) _ E[Y(t )Y(t )] _ E[Vsin3tiVsin3t2]
Y 1 212八八3ti 3t2
= sm3tisin3t2 ev2 _ 2 sin3tsin3t12
9tit2
X
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