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厄米算符的本征值和本征函数的重要性质:
1 . 厄米算符的本征值都是实数
2. 厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交
3. 厄米算符的全部本征函数构成一个完备的函数集合(完备性)
二算符的本征值和本征函数
对连续谱
正交归一化条件:
三. 力学量算符的性质
:
(1)量子力学的一个基本假设:在任意态测量力学量F时,所有可能出现的值,都是力学量算符的本征值。
(2)厄密算符的本征值必为实数(力学量算符的本征值是实数)
所以表示力学量的算符为厄密算符

态叠加原理决定了力学量算符为线性算符
量子态用波函数描述, 力学量用算符表示,
算符代表对波函数的一种运算
量子力学中的力学量用厄米算符表示,
力学量的可取值只能是算符的本征值。
解得的本征值λn之一。
1、量子力学基本假设三:在任意态Ф(r)中测量任一力学量 F,所得的结果只能是由算符的本征方程
2、力学量算符的本征函数组成完备系
量子力学基本假定四:任何力学量算符的本征函数φn(r)组成正交归一完备系,在任意已归一态ψ(r)中测量力学量 F 得到本征值λn 的几率等于ψ(x)按φn(r)展开式: 中对应本征函数φn(r) 的绝对值平方。
四、力学量的可能值和相应几率
其它系数为零,这时测量力学量的测量值必是
当
是算符
的一本征函数时,即
,即
(1)
(2)当
不是
的本征函数时,
可按本征函数展开
,测量力学量的结果是本征值之一,测量结果为
的几率为
所以波(态)函数可以完全描述微观粒子的状态
五、力学量的平均值
注意:这两种求平均值的公式都要求波函数是已归一化的
如本征值是连续谱
定理: 在任何状态下,厄密算符的平均值都是实数
[证明]:
逆定理:在任何状态下平均值为实数的算符为厄密算符
例1:设
为厄密算符, 则
[证明]:
例2:在时间t=0 时,一维线性谐振子处于用下列归一化
的波函数所描写的状态:
其中
1、求C 的值;
2、该振子能量的可能值、几率及平均能量
。
3、写出
时的波函数。
为第n 个时间无关的本征函数,求: