第二章函数
[自我校对]
①对应关系
②函数的值域
③解析法
④简单的幂函数
⑤单调性的定义
⑥函数的奇偶性
⑦奇偶性的判定方法
函数的定义域
,就是求使解析式有意义(分母不为零,偶次根式的被开方数非负等)的自变量的取值范围.
(x)的定义域为[a,b],求函数f[φ(x)]的定义域,可解不等式a≤φ(x)≤b求得;如果已知函数f[φ(x)]的定义域,可通过求函数φ(x)的值域,求得函数f(x)的定义域.
(1)若函数y=的定义域为R,则实数a的取值范围是________.
(2)已知函数f(x)的定义域为[0,1],则函数f的定义域为________.
【精彩点拨】(1)对任意x∈R,都有ax2+4ax+3≠0成立,分a=0,a≠0两种情况,a≠0时,Δ<0即可;
(2)由0≤x-1≤1解出x的范围即为所求.
【规范解答】(1)依题意,x∈R,解析式有意义,即对任意x∈R,都有ax2+4ax+3≠0成立,故方程ax2+4ax+3=0无实根.
①当a=0时,3≠0满足要求;
②当a≠0时,则有Δ=16a2-12a<0,即0<a<∈.
(2)由题意知,0≤x-1≤1,
解得2≤x≤4.
因此,函数f的定义域为[2,4].
【答案】(1) (2)[2,4]
[再练一题]
(2x-1)的定义域为[0,1),求f(1-3x)的定义域.
【导学号:04100036】
【解】∵f(2x-1)的定义域为[0,1),∴0≤x<1,
∴-1≤2x-1<1,
∴f(x)的定义域为[-1,1),
即-1≤1-3x<1,0<x≤.
故函数f(1-3x)的定义域为.
函数的性质
函数的单调性和奇偶性是函数的两个重要的性质:
(1)利用函数的单调性,可将函数值之间的关系转化为自变量间的关系进行研究,从而达到化繁为简的目的,特别是比较大小、证明不等式、,图像法.
(2)利用奇偶函数图像的对称性,可以减少对变量的讨论,常能使求解的问题避免复杂的讨论.
已知函数f(x)=是奇函数,且f(2)=.
(1)求实数a,b的值;
(2)判断函数f(x)在(-∞,-1]上的单调性,并加以证明.
【精彩点拨】(1)利用奇函数定义和f(2)=,求a,b的值;
(2)根据单调性的定义证明.
【规范解答】(1)∵f(x)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
∴=-,∴-3x+b=-3x-b,
因此b=-b,即b=0.
又f(2)=,∴=,∴a=2.
(2)由(1)知,f(x)==,
f(x)在(-∞,-1]上为增加的.
证明:设x1<x2≤-1,
则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)
=(x1-x2),
∵x1<x2≤-1,
∴x1-x2<0,x1x2>1,
x1x2-1>0,因此,(x1-x2)<0.
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
所以f(x)在(-∞,-1]上为增加的.
[再练一题]
(x)是R上的偶函数,在区间(-∞,0)上是增加的,f(-2)=0,若f(m-1)<0,求m的取值范围.
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