2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的简单几何性质学案 新人教A版选修1-1.doc

抛物线的简单几何性质
.(重点)
.(难点)
[基础·初探]
教材整理抛物线的简单几何性质
阅读教材P60思考~例3以上部分,完成下列问题.

标准
方程
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
图形
性
质
范围
x≥0,
y∈R
x≤0,
y∈R
x∈R,
y≥0
x∈R,
y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0,0)
离心率
e=1

位置关系
公共点
判定方法
相交
两个或一个公共点
k=0或
联立直线与抛物线方程,得到一个一元二次方程,记判别式为Δ
相切
有且只有一个公共点
Δ=0
相离
无公共点
Δ<0
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)抛物线是中心对称图形.( )
(2)抛物线没有渐近线.( )
(3)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p.( )
(4)直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件.( )
【答案】(1)× (2)√(3)× (4)×
[小组合作型]
抛物线的几何性质
(1)抛物线顶点在坐标原点,以y轴为对称轴,过焦点且与y轴垂直的弦长为16,则抛物线方程为________.
【自主解答】因为过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于p的2倍,所以2p=16.
故所求抛物线方程为x2=±16y.
【答案】 x2=±16y
(2)已知抛物线的方程为y=ax2(a≠0),求该抛物线的焦点坐标和准线方程. 【导学号:97792029】
【自主解答】抛物线方程y=ax2(a≠0)可化为x2=y(a≠0).
当a>0时,抛物线开口向上,焦点坐标为,准线方程为y=-.
当a<0时,抛物线开口向下,焦点坐标为,准线方程为y=-.
综上所述,抛物线y=ax2(a≠0)的焦点坐标为,准线方程为y=-.
把握三个要点确定抛物线简单几何性质
:由抛物线标准方程看图象开口,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.
:顶点位于焦点与准线中间、准线垂直于对称轴.
:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1.
[再练一题]
,对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物线的方程及抛物线的准线方程.
【解】椭圆的方程可化为+=1,
其短轴在x轴上,
∴抛物线的对称轴为x轴,
∴设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,即=3,
∴p=6.
∴抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x,
其准线方程分别为x=-3和x=3.
直线与抛物线的位置关系
已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k(k∈R).当k为何值时,直线l与抛物线只有一个公共点,有两个公共点,没有公共点?
【精彩点拨】要解决这个问题,只需讨论直线l的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况,