拟合与插值.ppt

拟合与插值
第一节拟合试验
一、拟合问题引例
引例 1
设 R=at+b
a,b为待定系数
引例 2
t (h) 1 2 3 4 6 8
c (g/ml)
已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg)
求血药浓度随时间的变化规律c(t).
作半对数坐标系(semilogy)下的图形
Matlab程序:

散点图
二、曲线拟合理论
已知一组(二维)数据,即平面上 n个点(xi, yi) i=1,…n,
寻求一个函数(曲线)y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所
有数据点最为接近,即曲线拟合得最好。
+
+
+
+
+
+
+
+
+
x
y
y=f(x)
(xi,yi)
i
i 为点(xi, yi) 与曲线 y=f(x) 的距离
三、曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法
注:线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ …+am rm (x)中函数
{r1(x), …rm (x)}的选取,主要是将数据(xi, yi),i=1, …n
作图,通过直观判断确定f (x):
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
f=a1+a2x
f=a1+a2x+a3x2
f=a1+a2x+a3x2
f=a1+a2/x
f=aebx
f=ae-bx
可以转换为多项式回归
五、用MATLAB作线性最小二乘拟合
1. 作多项式 f (x)=a1xm+ …+amx+am+1 拟合,可利用已有程序:
a= polyfit (x,y,m)
:
y=polyval(a,x)
输出拟合多项式系数
a=[a1, …am , am+1] (数组))
输入同长度
的数组x,y
拟合多项
式次数
1、用正弦波验证polyfit的功能
% curve fitting of sin wave
x=0::2*pi;
y=sin(x)+*rand(size(x)); %产生样本点x,y。
p=polyfit(x,y,3) %拟合出3次多项式p
y1=polyval(p,x) %多项式p在x处的值
plot(x,y,’+’,x,y1,’*’) %显示原始样本点与拟合曲线
程序:
执行过程: >>ex61
p =
-
则有多项式拟合函数:y= - + x +
2、多项式拟合及其有效区间
程序:
x=0::;
y=erf(x); %误差函数
p=polyfit(x,y,6) %数据的多项式拟合
x=0::5;
y=erf(x);
f=polyval(p,x); %多项式求值
plot(x,y,’+’,x,f,’*‘);
axis([0,5,0,2]);
legend(’原始数据’, ‘拟合曲线’)
执行结果
>>ex62
p =
- -
则有多项式拟合函数:
y= - x5+ - x3 + + +
此例说明,在一般情况下,所需拟合的数据并不满足简单的多项式的函数形式,因此,不能将拟合的函数随意扩展到更大的区间上。
【例 6】对下面一组数据作二次多项式拟合