初中压轴题专项.doc

初中压轴题专项
【2013·昆明·22题】已知:如图,AC是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,点P是⊙O外一点,∠PBA=∠C。
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)若OP∥BC,且OP=8,BC=2,求⊙O的半径。
解:(1)连接OB。
∵AC是⊙O的直径
∴∠ABC=90°
∴∠OBA+∠OBC=90°
∵OB=OC
∴∠OBC=∠C
∴∠OBA+∠C=90°
∵∠PBA=∠C
∴∠PBA+∠OBA=90°
∴∠OBP=90°
∴OB⊥PB
∴PB是⊙O的切线
(2)令OP与AB交于点D
∵OP∥BC,OA=OC,BC=2
∴AD=BD,OD=1
2BC=1
∵OP=8
∴PD=OP-OD=7
∵∠ABC=90°,即AB⊥BC,且OP∥BC ∴BD⊥OP ∵∠OBP=90° ∴BD2=OD·PD(射影定理) ∴
?∴
?∴⊙O
的半径为
【2013·重庆·25题】如图,对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A、B两点,其中点A的坐标为(-3,0)。(1)求点B的坐标;
(2)已知a=1,C为抛物线与y轴的交点。
①若点P在抛物线上,且S△POC=4S△BOC,求点P的坐标;
②设点Q是线段AC上的动点,作QD⊥x轴交抛物线于点D,求线段QD长度的最大值。
解:(1)由题意知,点A、B关于直线x=-1对称
∵点Q在线段AC上∵点A的坐标为(-3,0) ∴点B的坐标为(1,0) (2)∵抛物线过点A、B,且a=1
∴抛物线的解析式为y=(x+3)(x-1)= x2+2x-3 ∵当x=0时,y=-3 ∴点C的坐标为(0,-3) ①过点P作PH⊥OC于点H。
∵S11
△POC=2OC·PH,S△BOC=2
OC·OB
又S
△POC=4S△BOC ∴PH=4OB=4 ∴xP=4或-4
∵当x=4时,y=(4+3)(4-1)=21 当x=-4时,y=(-4+3)(-4-1)=5
∴点P的坐标为(4,21)或(-4,5) ②设直线AC的解析式为y=kx+b,则
??
?3k?b?0
?k??1?b??3
解得??b??3 ∴直线AC的解析式为y=-x-3 设点Q的坐标为(m,-m-3)
∴-3<m<0
∵QD⊥x轴,即QD∥y轴∴点D的坐标为(m,m2+2m-3) ∴QD=-m-3-(m2+2m-3)
=-m2-3m =-(m+32)2+9
4
∴当m=-32时,QD长度最大,最大值为9
4
【2013·杭州·23题】如图,已知正方形ABCD的边长为4,对称中心为点P,点F为BC边上一个动点,点E在AB边上,且满足条件∠EPF=45°,图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称,设它们的面积为S1. (1)求证:∠APE=∠CFP;
(2)设四边形CMPF的面积为S2,CF=x,y=S1。
S2
①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围,并求出y的最大值; ②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时,求y的值。
解:(1)过点P作PG⊥AB于G,PH⊥BC于H。
∵AC是正方形ABCD的对角线∴∠HPC=∠HCP=45° ∵∠EPF=45°
∴∠APE+∠HPF=180°-∠EPF-∠HPC=90° ∵∠PHF=90° ∴∠CFP+∠HPF=90° ∴∠APE=∠CFP
(2)①∵P是正方形ABCD的对称中心,边长为4
∴PH=GP=2,
∴y=
S1
=S2
16?
16?2x
88??2??1
2xxx
∵点F在BC边上,点E在AB边上,且∠EPF=45° ∴2≤x≤4
112
x211
∴当?,即x=2时,y有最大值,最大值为1
x2
∵y=?8(?)?1
②因为两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称,要使其关于点P成中心对称,则两块阴影部分图形还要关于直线BD成轴对称,此时BE=BF
∴AE=CF 则
1
∵CF=x ∴S△PFC=CF·PH=x
2
∴S2=2S△PFC=2x
∵∠APE=∠CFP,∠PAE=∠PCF=45° ∴△APE∽△CFP ∴
8
=x,得x
-
舍去) x
∴x
∴y
=??
AEAP
= CPCF
APCP8
==
xCF
x
888??1????
12
x2x8∴AE=
18
AE·GP= 2x1
∵S△ABC=AB·BC=8
2
∴S△APE=
∴S四边形BFPE=S△