梁的位移与挠曲线近似微分方程
:
挠曲线方程:
1、弯曲变形的表示方法:
(1)挠度y:截面形心在y方向的位移;
(2)转角θ:某横截面绕自己的中性轴转动的角度。
转角方程:
由于小变形,截面形心在x方向的位移忽略不计挠度转角关系为:
挠曲线
挠度
转角
表明:挠曲线上某点切线的斜率等于该点横截面的转角。
:
推导弯曲正应力时,得到:
忽略剪力对变形的影响
由数学知识可知:
略去高阶小量,得
所以
由上式进行积分,就可以求出梁横截面的转角和挠度。
由弯矩的正负号规定可得,当y坐标向下时,弯矩的符号与挠曲线的二阶导数异号,所以挠曲线的近似微分方程为:
EIZ——抗弯刚度
挠曲线的近似微分方程为:
积分一次得转角方程为:
再积分一次得挠度方程为:
积分法求弯曲变形
积分常数利用梁的边界条件及连续光滑条件来求得。
边界条件:梁横截面的已知位移条件或约束条件。
连续光滑条件:在相邻梁段的交接处即分段处,
相连两截面应具有相同的转角与挠度。
确定积分常数举例:
边界条件:
连续条件:
例1 求梁的转角方程和挠度方程,并求最大转角和最大挠度,梁的EI已知。
解:
1)由梁的整体平衡分析可得:
2)写出x截面的弯矩方程
3)列挠曲线近似微分方程并积分
积分一次
再积分一次
A
B
F
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