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9.6平面上曲线积分与路径无关的条件.ppt

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平面上曲线积分与路线无关的条件
第九章
一、平面曲线积分与路线无关的条件
二、原函数计算举例
三、小结与思考练****br/>7/22/2017
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在前面计算第二型曲线积分的开始两个例子中,
读者可能已经看到, 在一个例子中, 以 A 为起点B 为
终点的曲线积分, 若所沿的路线不同, 则其积分值也
不同, 但在另一个例子中的曲线积分值只与起点和终
点有关, 与路线的选取无关. 本节将讨论曲线积分在
什么条件下, 它的值与所沿路线的选取无关.
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G
y
x
o
一、平面曲线积分与路线无关的条件
B
A
如果在区域G内有
1. 曲线积分与路线无关的定义
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(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分
与路线无关, 只与 L 的起点及终点有关;
(iii)
是 D 内某一函数
的全微分,
即在 D 内有
(iv) 在 D 内处处成立
定理1 设 D 是单连通区域. 若函数
在 D 内连续, 且具有一阶连续偏导数, 则以
下四个条件两两等价:
(i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有
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若
满足定理1 的条件, 则
由上述证明可看到二元函数
具有性质
我们也称
为
的一个原函数.
二、原函数计算举例
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