2018届一轮复习北师大版 空间图形的基本关系与公理 教案.doc

第二节空间图形的基本关系与公理
[考纲传真] 、、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.

(1)公理1:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可以确定一个平面).
(2)公理2:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内(即直线在平面内).
(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
(4)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.

(1)空间中两直线的位置关系
(2)异面直线所成的角
①定义:过空间任意一点P分别引两条异面直线a,b的平行线l1,l2(a∥l1,b∥l2),这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a,b所成的角.
②范围:.
、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.
(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.
(等角定理)
空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.( )
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( )
(3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.( )
(4)若直线a不平行于平面α,且aα,则α内的所有直线与a异面.( )
[答案] (1)× (2)√(3)× (4)×
2.(教材改编) 如图7­2­1所示,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )
° °
° °
图7­2­1
C [连接B1D1,D1C(图略),则B1D1∥EF,
故∠D1B1C为所求的角,
又B1D1=B1C=D1C,∴∠D1B1C=60°.]
,不是公理的是( )

,有且只有一个平面
,那么这条直线上所有的点都在此平面内
,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
A [A不是公理,是个常用的结论,需经过推理论证;B,C,D是公理.]
4.(2016·山东高考)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )




A [由题意知aα,bβ,若a,b相交,则a,b有公共点,从而α,β有公共点,可得出α,β相交;反之,若α,β相交,则a,b的位置关系可能为平行、“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.]
⊥b,且直线a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系是________.
b与α相交或bα或b∥α
空间图形的公理及其应用
如图7­2­2,正方体ABCD­A1B1C1D1中,E,:
(1)E,C,D1,F四点共面;
(2)CE,D1F,DA三线共点.
图7­2­2
[证明] (1)如图,连接EF,CD1,A1B.
∵E,F分别是AB,AA1的中点,
∴EF∥BA1. 2分
又∵A1B∥D1C,∴EF∥CD1,
∴E,C,D1,F四点共面. 5分
(2)∵EF∥CD1,EF<CD1,
∴CE与D1F必相交,设交点为P,
则由P∈直线CE,CE平面ABCD,
得P∈平面ABCD. 8分
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,
∴P∈直线DA,∴CE,D1F,DA三线共点. 12分
[规律方法] :
(1)直接法:证明直线平行或相交,从而证明线共面.
(2)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内.
(3)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.
:
(1)基本性质法:一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上.
(2)纳入直线法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.
[变式训练1] 如图7­2­3所示,四边形ABEF和ABCD都是梯