2018届一轮复习北师大版 变化率与导数、导数的计算.doc

第十节变化率与导数、导数的计算
[考纲传真] =C(C为常数),y=x,y=x2,y=,.

(1)函数y=f (x)在x=x0处的导数
称函数y=f (x)在x0点的瞬时变化率为函数y=f (x)在点x0处的导数,用f ′(x0)表示,记作f ′(x0)= .
(2)导数的几何意义
函数f (x)在点x0处的导数f ′(x0)的几何意义是在曲线y=f (x)上点(x0,f (x0),切线方程为y-f (x0)=f ′(x0)(x-x0).
(3)函数f (x)的导函数
如果一个函数f (x)在区间(a,b)上的每一点x处都有导数,导数值记为f ′(x):
f ′(x)= ,则f ′(x)是关于x的函数,称f ′(x)为f (x)的导函数,通常也简称为导数.
(其中三角函数的自变量单位是弧度)

(1)[f (x)±g(x)]′=f ′(x)±g′(x);
(2)[f (x)·g(x)]′=f ′(x)g(x)+f (x)g′(x);
(3)′=(g(x)≠0).
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)f ′(x0)与(f (x0))′表示的意义相同.( )
(2)求f ′(x0)时,可先求f (x0)再求f ′(x0).( )
(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( )
(4)若f (a)=a3+2ax-x2,则f ′(a)=3a2+2x.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√(4)√
2.(教材改编)有一机器人的运动方程为s(t)=t2+(t是时间,s是位移),则该机器人在时刻t=2时的瞬时速度为( )
A. B.
C. D.
D [由题意知,机器人的速度方程为v(t)=s′(t)=2t-,故当t=2时,机器人的瞬时速度为
v(2)=2×2-=.]
3.(2016·天津高考)已知函数f (x)=(2x+1)ex,f ′(x)为f (x)的导函数,则f ′(0)的值为________.
3 [因为f (x)=(2x+1)ex,
所以f ′(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,
所以f ′(0)=3e0=3.]
4.(2016·豫北名校期末联考)曲线f (x)=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为________.
【导学号:66482098】
5x+y+2=0 [∵f ′(x)=-5ex,∴所求曲线的切线斜率k=f ′(0)=-5e0=-5,∴切线方程为y-(-2)=-5(x-0),即5x+y+2=0.]
5.(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x)=ax3+x+1的图像在点(1,f (1))处的切线过点(2,7),则a=________.
1 [∵f ′(x)=3ax2+1,
∴f ′(1)=3a+1.
又f (1)=a+2,
∴切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1).
∵切线过点(2,7),∴7-(a+2)=3a+1,解得a=1.]
导数的计算
求下