2018届一轮复习苏教版 4.2同角三角函数基本关系及诱导公式 教案（江苏专用）.doc

同角三角函数基本关系及诱导公式

(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.
(2)商数关系:=tan α.

角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
图示
与角α终边的关系
相同
关于原点对称
关于x轴对称
角
π-α
-α
+α
图示
与角α终边的关系
关于y轴对称
关于直线y=x对称

组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
-α
+α
正弦
sin α
-sin α
-sin α
sin α
cos α
cos α
余弦
cos α
-cos α
cos α
-cos α
sin α
-sin α
正切
tan α
tan α
-tan α
-tan α
口诀
函数名不变
函数名改变符号看象限
符号看象限
【知识拓展】
:奇变偶不变,符号看象限.

(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α;
(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2;
(sin α+cos α)2-(sin α-cos α)2=4sin αcos α.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.( × )
(2)若α∈R,则tan α=恒成立.( × )
(3)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.( × )
(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.( √)
1.(2015·福建改编)若sin α=-,且α为第四象限角,则tan α的值为.
答案-
解析∵sin α=-,且α为第四象限角,∴cos α=,
∴tan α==-.
2.(教材改编)已知cos θ=,且<θ<2π,那么tan θ的值为.
答案-
解析因为θ为第四象限角,所以tan θ<0,sin θ<0,
sin θ=-=-,所以tan θ==-.
3.(2016·连云港模拟)计算:sin π+cos π= .
答案-1
解析∵sin π=sin(π+π)=-sin =-,
cos π=cos(2π+)=cos =-,
∴sin π+cos π=-1.
4.(教材改编)已知tan α=1,则= .
答案
解析原式===.
5.(教材改编)化简:
+= .
答案 1
解析因为tan(3π-α)=-tan α,sin(π-α)=sin α,
sin(-α)=-cos α,sin(2π-α)=-sin α,
cos(α-)=cos(α+)=-sin α,
sin(+α)=-cos α,cos(2π+α)=cos α,
所以原式=+
=-
=
==1.
题型一同角三角函数关系式的应用
例1 (1)已知sin αcos α=,且<α<,则cos α-sin α的值为.
(2)(2016·苏州期末)已知θ是第三象限角,且sin θ-2cos θ=-,则sin θ+cos θ= .
答案(1) (2)-
解析(1)∵<α<,
∴cos α<0,sin α<0且cos α>sin α,
∴cos α-sin α>0.
又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×=,
∴cos α-sin α=.
(2)由得
5cos2θ-cos θ-=0,解得cos θ=或-.
因为θ是第三象限角,所以cos θ=-,
从而sin θ=-,所以sin θ+cos θ=-.
思维升华(1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以实现角α的弦切互化.
(2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.
(3)注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.
已知sin α-cos α=,α∈(0,π),则tan α= .
答案-1
解析由
消去sin α得2cos2α+2cos α+1=0,
即(cos α+1)2=0,
∴cos α=-.
又α∈(0,π),
∴α=,
∴tan α=tan=-1.
题型二诱导公式的应用
例2 (1)(2