第3章 波动模型.doc

第三章波动模型
有许多经济时间序列,可能在某一段时间内呈现出相对平稳性,接着可能会呈现出剧烈的波动性。条件方差在变化, 但无条件方差可能是个常数。因为资产持有者总是关注持有期内收益的波动,而不是整个历史期间内的波动。能够估计、预测某种特定资产的风险十分重要的。本章将介绍条件异方差模型(ARCH)的建模方法。
经济时间序列:典型化特征
。当然需要有正式的检验来证实这些第一印象。在视觉上,这些序列是非平稳的,样本均值不是常量,有很强的异方差性等重要的典型化特征:
(1)大多数序列都包含有明显的趋势。虽然实际GDP中的实际投资、政府支出比实际GDP和消费波动性更大,实际GDP和消费有一个明显向上趋势。


(2)对序列的冲击显示很强的持久性
短期利率和长期利率都没有明显的向上或向下的随机趋势。但都有很强的持久性。
(联邦基金利率) (某种债券收益)

(3) 许多时间序列的波动性并不是常量
(上证指数) (取对数再差分)
可以看出,平静的期间内也伴随着不同的波动程度。虽然无条件(或长期)方差是常量,但也有方差变化较大的期间,这样的序列称为条件异方差。
(4)一些序列似乎是随机游走
没有特别增加或减少的趋势,没有返到长期均值的趋势。这种随机游动类型是典型的非平稳序列。
(上证指数收盘价)
(5)一些序列与其它序列有着“公共趋势”
联邦基金利率和10年期美国政府债券收益没有返回到长期均值的趋势。但两个序列从未分离开太远,对联邦基金利率的冲击也同样出现在10年政府债券收益。这种“共同运动”不足奇怪,因为推动短期、长期利益的原因是相同的。
这些增长率趋势之间是否统计上有显著差别,都需要正式的统计检验。
ARCH过程
在传统的计量经济模型中,扰动项的方差都被假设为常数。但上一节我们看到,许多经济时间序列都显示了非常的大波动期之后又显示了一段相对平缓期,在这样情况下,常量方差的假设是不适当的。
在实践中,经常需要预测一个序列的条件方差。一个资产持有者总是对持有这种资产的持有期内预测其收益率与方差。如果你计划在t期买一种资产,在t+1期卖出这种资产,那么无条件方差(方差的长期预测)就不是很重要了。
另外,条件预测要优于无条件预测。对一个平稳ARMA模型, 预测的值。这时的条件均值是

如果利用这个条件均值预测,预测误差方差是
。
如果使用无条件预测,无条件预测是的长期均值。无条件预测误差方差是


因为,无条件预测方差比条件预测方差更大。因而,条件预测更好些。
ARCH过程
Engle(1982)提出可以同时对一个序列的均值和方差建模方法。
的条件方差是
现在假设这个条件方差不是常量,预测这个条件方差的最简单办法是把估计的残差的平方看作为AR(q)过程
()
这里是白噪声过程。由此可以预测t+1时的条件方差
方程()被称为自回归条件异方差(ARCH)模型。
由Engle (1982) 提出的一类乘积条件异方差模型:设定白噪声扰动项为乘积扰动形式。如
()
这里是白噪声过程且与不相关,。
为了保证条件方差不为负,必须假设都为正。为了保证过程的稳定性,还必须限制。
下面先分析的性质:
1)有零均值且是无关的。

= ()
由于,则有
()
2)的无条件方差是
因此,无条件均值、无条件方差不受误差过程()的影响。
3)的条件均值是

4)的条件方差是
()
这个条件方差依赖于的值,如果值较大,在t处的条件方差将也较大。因此,ARCH模型能捕捉到的平缓期和波动期。
现在可以分析的无条件均值、无条件方差:
由于
可求出
1)的无条件均值
2)的无条件方差为
再由的无条件方差是常量(),则有

3)的条件均值

4)的条件方差



方程()形式的ARCH过程可以多种形式扩展。Engle(1982)考虑了高阶ARCH(q)过程

GARCH模型
Bollerslev(1986)扩充了Engle(1982)的工作,假设条件方差服从ARMA过程:
, ,
()
因为是白噪声过程,的条件均值、无条件均值都为零。()。重要的是的条件方差为。因此,的条件方差是()中给出的ARMA过程。
这个推广的ARCH(p,q)模型称为 GARCH(p,q)。如果所有都等于零, GARCH(p,q) 过程等价于ARCH(q)模型。GARCH模型的好处在于:一个高阶的 ARCH模型可以有一个更节俭的GARCH表示(