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文档介绍
1、正规矩阵定义:
下列类型的矩阵都是正规矩阵:
实对称矩阵 AT=A;
反实对称矩阵 AT=-A;
正交矩阵 AT=A-1;
酉矩阵 AH=A-1;
Hermite矩阵 AH=A;
反Hermite矩阵 AH=-A;
对角矩阵
设
满足
第三节正规矩阵与酉对角化
2、酉相似
3、Schur 定理
(1)任意复方阵酉相似于一个上三角矩阵。即
Schur 定理
(2)任意实方阵正交相似于一个上三角矩阵。即
引理正规上三角矩阵是对角矩阵
证明设n阶矩阵A是正规上三角矩阵,则
比较等式两边,可得
定理,则A酉相似于一个对角矩阵的充分必要条件是A为正规矩阵,即
证明必要性
充分性
由schur定理知,A酉相似于一个上三角矩阵T,
正规矩阵的性质:
1、正规矩阵有n个线性无关的特征向量;
2、正规矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的;
3、与正规矩阵酉相似的矩阵都是正规矩阵。
解显然A满足
求得对应的线性无关特征向量
例1 判断A是否为正规矩阵,如果是,将其酉对角化
即A是Hermite矩阵,从而是正规阵
由
得A的特征值
下列类型的矩阵都是正规矩阵:
实对称矩阵 AT=A;
反实对称矩阵 AT=-A;
正交矩阵 AT=A-1;
酉矩阵 AH=A-1;
Hermite矩阵 AH=A;
反Hermite矩阵 AH=-A;
对角矩阵
设
满足
第三节正规矩阵与酉对角化
2、酉相似
3、Schur 定理
(1)任意复方阵酉相似于一个上三角矩阵。即
Schur 定理
(2)任意实方阵正交相似于一个上三角矩阵。即
引理正规上三角矩阵是对角矩阵
证明设n阶矩阵A是正规上三角矩阵,则
比较等式两边,可得
定理,则A酉相似于一个对角矩阵的充分必要条件是A为正规矩阵,即
证明必要性
充分性
由schur定理知,A酉相似于一个上三角矩阵T,
正规矩阵的性质:
1、正规矩阵有n个线性无关的特征向量;
2、正规矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的;
3、与正规矩阵酉相似的矩阵都是正规矩阵。
解显然A满足
求得对应的线性无关特征向量
例1 判断A是否为正规矩阵,如果是,将其酉对角化
即A是Hermite矩阵,从而是正规阵
由
得A的特征值
第3节酉相似对角化 来自淘豆网www.taodocs.com转载请标明出处.
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