倒立摆实验预习报告 张晓德.doc

倒立摆实验预习报告_张晓德控制理论专题实验
倒立摆建模与控制
预****报告
院系:自动化系
班级:自22
姓名:张晓德
学号:2012011413
邮箱:zhangxdqh@
目录
1 倒立摆数学建模 2
2
2
3
判断系统的可控性 4
7
特征值规范型和可控规范型 7
2 实验一根轨迹方法控制实验 9
9
9
12
3 实验二:频域响应方法控制实验 12
4 实验三极点配置控制方法实验 16
方法一:采用规范型的方法。 16
方法二:采用改进算法 17
倒立摆建模与控制预****报告
自动化系自22 张晓德 2012011413
1 倒立摆数学建模

在忽略了空气流动和各种摩擦之后,可将倒立摆系统抽象成导轨、小车和匀质杆组成的系统,其受力分析图如下所示
倒立摆本体主要由小车和摆杆组成。运用牛顿力学原理,得到两部分的微分方程模型如下:
(1)

我们需要将非线性的倒立摆模型在其工作点附近进行线性化。倒立摆的工作点就是它的平衡点,即φ=0。当φ很小时(如φ≤5°),我们可以作如下的近似处理:
sinφ≈φ, cosφ≈1, φ2 ≈0 , φ2 ≈0
对公式(1)进行化简可得
(2)
假设模型的初始状态为零,对线性化后的微分方程(2)进行拉普拉斯变换得:
(3)
对上式进行推导,得到传递函数的表达式如下,其中A(s)为小车加速度
(I)
(II)
(III)
将已知数据(指导书12页)代入以上各式可得
(I)
(II)
(III)

选定外力F 给小车施加的加速度a 为控制信号,而选取小车的位置 x 和倒立摆的角度φ为输出变量,即,
请根据线性化后的微分方程,建立倒立摆本体的状态空间方程
其中

结合(2)式可以得到如下的状态方程组
(4)
将其写成矩阵的形式
(5)
代入具体数值可得:
判断系统的可控性


方法一:利用状态可控性的代数判据
线性定常系统的状态完全可控的充分必要条件是,系统的可控性矩阵的秩为
所以系统可控。
方法二:对角线规范型判据
系统完全可控的充要条件是对角规范型的输入系数没有全零行。
求状态转移矩阵
没有全零行,所以可控。
方法三:线性定常系统可控的充要条件是状态系数矩阵A的任意特征值都满足
对每个特征值进行判断
可以看出系统可控。

方法一:代数判据:线性定常系统完全可观的充要条件是:系统可观矩阵的秩为n,即
所以系统可观。
方法二:系统完全可观的充要条件是:不存在全零列,所以可控
方法三:模态判据:线性定常系统完全可观的充要条件是:状态系数矩阵A的任意特征值都满足
所以系统可观
特征值规范型和可控规范型
通过坐标变换的方法将上述的状态空间方程转化为特征值规范型和可控规范型,并给出相应的变换矩阵。
①特征值规范型
由上述可知,特征值规范型为
变换矩阵为:
②可控规范型
关键代码如下
求得,第一可控规范型为
第二可控规范型是
2 实验一根轨迹方法控制实验

当倒立摆系统的输入为小车的加速度a(t) = x(t),输出为摆杆的角度φ(t)时,倒立摆系统的开环传递函数为:
用MATLAB做出其根轨迹图
该系统有两个极点为,根轨迹如下:
系统有两个实极点,并且有一个极点为正,有一条根轨迹从该点出发跑到坐标原点,又从原点跑到正无穷。所以,不管增益如何改变,右半平面总会存在根轨迹,即系统不可能通过调整开环增益使系统稳定。
为了使系统稳定并且改善动态性能,需要使根轨迹左移,即需要超前校正。