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傅里叶变换是个伟大的工具
引言:傅里叶分析不仅仅是一个数学工具,更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是,傅里叶分析的公式看起来太复杂了,所以很多学生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。
老实说,这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程,不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析,有可能的话高中生都能看懂的那种。所以,不管读到这里的您从事何种工作,我保证您都能看懂,并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友,也希望不要看到会的地方就急忙往后翻,仔细读一定会有新的发现。
有关傅里叶
傅里叶是一位法国数学家和物理学家的名字,英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣,于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文,运用正弦曲线来描述温度分布,论文里有个在当时具有争议性的决断:任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。
当时审查这个论文的人,其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827),当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时,拉格朗日坚决反对,在他此后生命的六年中,拉格朗日坚持认为傅里叶的方法无法表示带有棱角的信号,如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望,拒绝了傅里叶的工作,幸运的是,傅里叶还有其它事情可忙,他参加了政治运动,随拿破仑远征埃及,法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。
拉格朗日是对的:正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。
但是,我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它,逼近到两种表示方法不存在能量差别,基于此,傅里叶是对的。
话是这么说没错,可是二者总要存在差异,甚至在跳变沿处,傅里叶逼近会产生Gibbs现象,我们为什么还要进行傅里叶展开或傅里叶变换呢?
为什么要傅里叶展开和变换?
首先,我们从物理系统的特征信号角度来解释。
我们知道,大自然中很多现象可以抽象成一个线性时不变系统来研究,无论你用微分方程还是传递函数或者状态空间描述。
线性时不变系统可以这样理解:
输入输出信号满足线性关系,而且系统参数不随时间变换。对于大自然界的很多系统,一个正弦曲线信号输入后,输出的仍是正弦曲线,只有幅度和相位可能发生变化,但是频率和波的形状仍是一样的。
也就是说正弦信号是系统的特征向量!当然,指数信号也是系统的特征向量,表示能量的衰减或积聚。自然界的衰减或者扩散现象大多是指数形式的,或者既有波动又有指数衰减(复指数形式),因此具有特征的基函数就由三角函数变成复指数函数。但是,如果输入是方波、三角波或者其他什么波形,那输出就不一定是什么样子了。所以,除了指数信号和正弦信号以外的其他波形都不是特征信号。
怎么理解我所说的特征向量和特征信号这个名字呢?其实这来源于线性代数,我们知道矩阵A作用一个特征向量x可以用数学语言这样描述,那么系统作用一个特征信号用数学语言描述就是:形式结构相同,只是一个是有限长度的向量,另一个是无限长度的信号而已。既然是特征向量,我们就想能不能用特征向量来表示自然界的信号和一个物理系统呢?这样做的好处就是知道输入,我们就能很简单那的写出输出。我们来看一个实际的例子,击弦乐器——钢琴。琴键被小锤敲击后,产生声音,见下图。
你可以认为声音是琴键随时间变化的,也可以看成是各种波的叠加。用数学的表达式就是这个样子的:
凡有变化的波(交流、频率)才能传递信号,一个一直不变的直流信号是无法传递信息的。这种“交流”是指广义的,普遍的,无论是自然界里蝙蝠探路,人们互相交谈,还是卫星接收信号,都属于交流的范畴。
为了传递信号,产生交流,我们需要以“波”作为信号的载体。最简单的波,就以一定频率传播。蝙蝠发出了超声波,人们说话,声带振动带动了空气疏密波(声波),卫星识别电磁波。这样,我们就有了频率的概念。更进一步,除了手机GHz的波这些经典电磁波,在量子世界里,原子的跃迁也是以一定的频率发生的。我们甚至可以说,自然选择了以这些单频的模式为基础。对于一个信号来说,信号强度随时间的变化规律就是时域特性,信号是由那些单一频率的信号合成的就是频域特性。
为什么时间和频率描述世界是等价的?
这里引入了时域频域的概念。我们就有必要解释一下为什么时间和频率来描述这个世界是等价的?
什么是时域?从我们出生,我们看到的世界都以时间贯穿,股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间