李明波 数学中国的第二战场.doc

数学中国的第二战场
李明波
在政治上,最壮丽的是主义;在数学中,最迷人的是猜想。
1.“1+2”之后的思索
提起中国数学的伟大成就,人们自然会想起陈景润与歌德巴赫(Goldbach)猜想。在中国数学名题攻关的这个主战场上,陈景润的“1+2”这一著名成果,引起了世界的轰动,为中国数学赢得了荣誉。歌德巴赫恐怕也没有料到,他当初提出的这一猜想,直到今天已经“迷倒”人类200年之久。
值得注意的是,数学家们在研究歌德巴赫猜想的过程中,竟创立出大筛法、圆法、密率论、三角和法;而在对另一个著名数学猜想费马大定理的研究中,竟创立出理想数论以至代数数论。可见,优秀的数学猜想,常常在数学的发展史上领导着潮流,它在吸引人们去探索数学奥秘的同时,往往也会诱发出新的数学方法和思想。
综观中国数学之研究不难发现,缺乏著名的数学猜想,是中国数学的一大弱项,它构成了中国数学的“破阵之方居多,布阵之法甚少”的畸形现象。
可以这样讲:一个民族在数学上没有优秀的猜想,不亚于在政治上没有自己的主张。所以,中国数学的当务之急是开辟第二战场,在尽可能多的数学领域内,提出人们从未提出过的猜想。


作者认为,所谓形象思维,就是将生疏的事物同与之相接近的熟知事物进行联想和类比,并对生疏事物拿出解答办法的思维过程。形象思维具有生动性和灵活性,它可以一石激起千重浪。
费马大定理是说,不定方程
,>2 (1)
无正整数解。人们也曾把它推广到对许多幂和等式的研究,但是在形象思维下,它将别有一派风光:
对于同一形式的函数来说,不定方程
(2)
有特定的解吗?继而,不定方程
(3)
有特定的解吗?这就马上产生一个“问题系列”。预计,人们不会很容易地证明:
a. 不定方程无正整数解。
b. 不定方程无正整数解。
但是,作者却曾很容易地证明了:
定理1 不定方程,>2 无正整数解。
定理2 不定方程无正整数解。
现在的问题是,对于任给的函数来说,不定方程(2)、不定方程(3)有正整数解吗?有正有理数解吗?有正代数数解吗?

作者认为,所谓灵感思维,就是在被问题困惑已久的情况下,因受看起来似乎不相干但实际上却有着内在联系的事物的启迪,于一种爆发的心态下,突然产生对生疏事物提出确切看法的思维过程。灵感思维具有突发性、瞬时性和跳跃性。
1995年12月10日,一时的心血来潮,让我依次列出了许多孪生素数中间的偶数(孪中)
4 6 12 18 30 42 60 72 102 108 138 150
180 192 198 228 240 270 282 312 348 420 432 462
522 570 600 618 642 660 810 822 828 858 882 …
意图是想找出它们的表达式,但是起码在当时我并没有成功。不过我很快注意到
12-6=6 18-12=6 30-18=12 42-30=12 60-42=18 72-60=12 102-72=30 108-102=6 …
难道说,除了前两项4和6之外,相邻的两个孪中之差仍是一个孪中吗?可是我很又快否定了这个猜想,因为反例出现了,348-312=36不是孪中。
接踵而至的惊喜是,我继而发现348-240