材料力学 综合辅导内容梗概zhn1zhn7.doc

本章是在小变形和材料为线弹性的条件下研究梁由平面弯曲产生的变形,并且忽略剪力的影响,认为平面假定仍然成立。梁变形后的位移用挠度和转角度量。挠度是横截面形心沿垂直于轴线方向的位移,用表示;转角是横截面变形前后的夹角,用表示,如图7-1所示。
梁变形后的轴线在加载平面内成为一条连续光滑的曲线,称为挠度曲线,用表示。挠度曲线上某点的切线与轴的夹角,即为该处横截面的夹角。因此研究梁弯曲变形的关键是求得挠曲线方程

首先分析微段的变形与受力的关系(图7-2)。根据平面假定,由第六章中已求得

而曲率与挠曲线的关系为
(b)
小变形时,。在图示坐标系中(图7-3),当,;当,。故由式(a)和(b)求得
(7-1)
式(7-1)称为小挠度近似微分方程。
将梁各个微段的变形叠加起来即为梁的整体变形。对式(7-1)积分一次求得
积分二次求得
但梁变形后的位移还与梁的支承条件有关。在用积分法求梁的挠度曲线时,还需根据边界条件和连续条件确定积分常数。图7-4所示两梁(a)和(b)的弯矩图相同,只是说明各相应微段的变形相同,梁变形后的形状相同;但因两梁的支承条件不同,挠度曲线方程不同,各相应截面的挠度和转角互不相同。因此梁受力后的挠度曲线既与受力(弯矩)有关,也与梁的支承条件有关。
若弯矩方程分为段,则积分也应分段进行,出现个积分常数。积分常数根据边界条件和连续条件确定。

在小变形和弹性范围内,梁的位移与载荷为线性关系,可以用叠加法求梁的位移:将梁的载荷分为若干种简单载荷,分别求出各简单载荷的位移,将它们叠加起来即为原载荷产生的位移。

约束反力数目多于静力平衡方程数目的梁称为静不定梁。两者数目的差称为静不定次数。用变形比较法求解静不定梁的步骤是:
1)去掉多余约束,确定静定基。
2)在静定基上施加原载荷和多余约束力,使其变形和原静不定梁相同,形成相当系统。
3)根据相当系统在多余约束处的变形条件