杨辉三角与二项式系数的性质学案.doc

《“杨辉三角”与二项式系数的性质》学案
探究:分行写出展开式的二项式系数;观察每一行的数据,找出规律:

将上述结果改变表示形式,进一步发现某些规律:
…………………………….1 1
…………………………1 2 1
……………………...1 3 3 1
…………………..1 4 6 4 1
……………….1 5 10 10 5 1
……………1 6 15 20 15 6 1
规律:
数学史小知识
这个表成为杨辉三角。杨辉,南宋杭州钱塘人,,共有5部21卷,著名的有《详解九章算法》、《日用算法》、《乘除变通本末》等。在朝鲜、日本等国均有译本出版,流***界。“杨辉三角”在《详解九章算法》一书里,还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和,杨辉指出这个方法出于《释锁》算书,且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它。这表明我国发明这个表不晚于11世纪。在欧洲,这个表被认为是法国数学家帕斯卡(,1623-1662)首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说,杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右,
由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。
画的图像,n=7,8,9
二项式系数的性质:
对称性:与首尾两端“等距离”的两个二项式系数相等。事实上,这一性质可由公式得到。直线将函数的图像分成对称的两部分,它是图像的对称轴。
增减性与最大值:当n是偶数时,中间的一项取最大值;当n是奇数时,中间的两项相等,且同时取最大值.
各二项式系数和:已知
令,则,即的展开式的各个二项式系数的和等于。
性质应用:
例1、(04上海,春)在由二项式系数所构成的杨辉三角形中,第行中从左至右第14与第15个数的比为2:3 。
例2:(2005年高考湖南卷) 在的展开式中, 项的系数是________。
例题讲解:
例3 试证:在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。
练****设
求的值;
求的值;
求的值。