板块分析：函数与导数.doc

高中数学复****之函数专题研究
 函数是高中数学的主体知识,也是高考考查的重点内容之一。函数思想是思考和解决数学问题的重要思想,它融汇了配方法、换元法、待定系数法、反证法、数形结合、分类讨论、等价转化等许多重要的数学思想和方法。其特点是内容多、联系广、方法灵活、综合性强,主要考查逻辑思维能力及分析和解决问题的能力,因而函数内容成为历年高考命题的重中之重。
一、考试内容:映射,函数概念,函数的单调性,奇偶性,反函数及互为反函数的函数图像间的关系;指数概念扩充,运算和指数函数;对数概念,;导数的概念,几何意义,几种常见函数的导数,两个函数的和,差,积,商的导数,复合函数的导数,基本函数导数的运算公式,利用导数研究函数的单调性和极值,函数的最值.
二、大纲要求:会判断一些简单函数的单调性和奇偶性,会求一些简单函数的反函数;理解掌握指数幂及其运算,对数及其运算;掌握指、对数函数概念、图像和性质,能够用函数的性质、指对数函数的图像和性质解决某些简单实际问题。理解导数概念,可导函数单调性一其导数的关系;掌握函数在一点处的导数定义和几何意义,熟记导数公式,掌握两个函数和差积商的求导法则,会求某些简单函数的导数,和一些实际问题的最大值和最小值。
三、原声再现
一、(2006文)( A )
(A) (B)
(C) (D)
(-1,-3)处的切线方程是( D )
(A) (B) (C) (D)
21.(本小题满分14分)已知函数其中是的f(x)的导函数。(Ⅰ)对满足的一切的值,都有求实数x的取值范围;
(Ⅱ)设,当实数m在什么范围内变化时,函数y=f(x)的图像与直线y=3只有一个公共点。
本题主要考察函数的单调性、导数的应用、解不等式等基础知识,以及推理能力、运输能力和综合应用数学知识的能力。
解:(Ⅰ)由题意
令,
对,恒有,即
∴即解得
故时,对满足的一切的值,都有
(Ⅱ)①当时,的图象与直线只有一个公共点
②当时,列表:
极大
极小
∴
又∵的值域是,且在上单调递增
∴当时函数的图象与直线只有一个公共点。
当时,恒有
由题意得即解得
综上,的取值范围是
(2006理)( D )
(A)f(x)在x=1处连续(B)f(1)=5 (C) (D)
22.(本小题满分14分)已知函数f(x)的导函数是。对任意两个不相等的正数,证明:
(Ⅰ)当时,;
(Ⅱ)当时,。
本题主要考查导数的基本性质和应用,函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推理论证的能力,满分14分。
证明:(Ⅰ)由
得
而①
又∴②
∵∴
∵∴③
由①、②、③得:
即
(Ⅱ)证法一:由,得
∴
下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立
即证成立∵
设,则
令得,列表如下:
极小值
∴
∴对任意两个不相等的正数,恒有
证法二:由,得
∴
∵是两个不相等的正数
∴
设, 则,列表:
极小值
∴即
∴
即对任意两个不相等的正数,恒有
二、(2007文)(2)函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是
(20)(本小题满分12分)设函数f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f'(x)的最小值为-12.
(Ⅰ)求a,b,c的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间,并求函数f(x)在〔-1,3〕上的最大值和最小值.
解析:本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识,以及推理能力和运算能力.
(Ⅰ)∵为奇函数,∴
即∴
∵的最小值为∴
又直线的斜率为因此,
∴,,.
(Ⅱ).
,列表如下:
极大
极小
所以函数的单调增区间是和
∵,,
∴在上的最大值是,最小值是.
(22)(本小题满分14分)已知函数f(x)=x2-4,设曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与x轴的交点为(xn+1,u)(u,N +),其中为正实数.
(Ⅰ)用xx表示xn+1;
(Ⅱ)若a1=4,记an=lg,证明数列{a1}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式;
(Ⅲ)若x1=4,bn=xn-2,Tn是数列{bn}的前n项和,证明Tn<3.
解析:本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识,以及推理论证、计算及解决问题的能力.
(Ⅰ):.即.
令,.
显然,∴.
(2007理)(2)同文
(3)
(A)0 (B)1 (C) (D)
解析: