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构造几何图形解决代数问题
摘要数与行是数学中的两个最古老,也是最基本的研究对象,它们在一定条件下可以相互转化。数形结合是数学解题中常用的思想方法,数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷。因此,数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一。数形结合的应用大致可分为两种情形:第一种情形是“以数解形”,而第二种情形是“以形助数”。本课题调查研究中主要研究“以形助数”的情形。
关键词数形结合解题以形助数教学
1.“以形助数”的思想应用
:在集合运算中常常借助于数轴、Venn图处理集合的交、并、补等运算,从而使问题得以简化,使运算快捷明了。
例:已知集合A=[0,4],B=[-2,3],求AB。
A=[0,4]
B=[-2,3]
分析:对于这两个有限集合,我们可以将它们在数轴上表示出来,就可以很清楚地知道结果。如下图,由图我们不难得出AB=[0,3]
例:(2009湖南卷文)某班共30人,其中15人喜欢篮球运动,10人喜欢乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为
分析:如下图,设所求人数为,则只喜爱乒乓球运动的人数为。
评价:通过上面两个典型例题的学****我们基本了解了构造几何图形在代数问题中的简单应用,将抽象的集合问题形象地用图形表现出来,形象生动便于思考,找出问题中条件间的相互关系进而方便快捷地解答。
:借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图像的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。
例:(2009山东理)若函数
分析:设函数和函数,则函数有两个零点,就是函数与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点,所以一定有两个交点,所以实数的取值范围是
0<a<1

a>1
例:若函数是定义在R上的偶函数,在上是减函数,且,求的x的取值范围。
分析:由偶函数的性质,y=f(x)关于y轴对称,由y=f(x)在上为减函数,且f(-2)=f(2)=0,做出如图,由图象可知发f(x)<0,所以x(-2,2)
评价:函数问题是高考中主打题型,往往又是比较难解的问题。在解决这类问题时,若只采用代数的方法思考问题,往往会太过于抽象或无从下手。但如果根据函数的定义,引入图象,使所求的问题具体化,可从图中一目了然,则达到事半功倍的效果。
:处理方程问题时,把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题;处理不等式时,从题目的条件与结论出发,联系相关函数,着重分析其几何意义,从图形上找出解题的思路。
例:若方程在内有唯一解,求实数m的取值范围。
分析:原方程可化为,设
在同一坐标系中画出它们的图像,如下图,由原方程在(0,3)内有唯一解,知的图象只有一个公共点,可见m的取值范围是-1<m或m=1。
例:已知不等式对一切实数x恒成立,求实数m取值。
分析: 表示数轴上点x到点(-1)的距离,表示数轴上点x到点2的距离。数轴上点x到点(-1)的距离与点x到点2的距离的和的最小值为