第30届全国中学生高中物理竞赛复赛试题含答案.doc

第30届全国中学生物理竞赛复赛考试试题解答与评分标准
一、(15分)一半径为、内侧光滑的半球面固定在地面上,开口水平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度,其大小为(). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力加速度大小为.
参考解答:
以滑块和地球为系统,它在整个运动过程中机械能守恒. 滑块沿半球面内侧运动时,可将其速度分解成纬线切向(水平方向)分量及经线切向分量. 设滑块质量为,在某中间状态时,滑块位于半球面内侧处,和球心的连线与水平方向的夹角为. 由机械能守恒得
(1)
这里已取球心处为重力势能零点. 以过的竖直线为轴. 球面对滑块的支持力通过该轴,力矩为零;重力相对于该轴的力矩也为零. 所以在整个运动过程中,滑块相对于轴的角动量守恒,故
. (2)
由(1) 式,最大速率应与的最大值相对应
. (3)
而由(2) 式,不可能达到. 由(1)和(2)式,的最大值应与相对应,即
. (4)
(4)式也可用下述方法得到:由(1)、(2) 式得
.
若,由上式得
.
实际上,也满足上式。由上式可知
.
由(3)式有
. (4’)
]
将代入式(1),并与式(2)联立,得
. (5)
以为未知量,方程(5)的一个根是,即,这表示初态,其速率为最小值,不是所求的解. 于是. 约去,方程(5)变为
. (6)
其解为
. (7)
注意到本题中,方程(6)的另一解不合题意,舍去. 将(7)式代入(1)式得,当时,
, (8)
考虑到(4)式有
. (9)
评分标准:本题15分. (1)式3分, (2) 式3分,(3) 式1分,(4) 式3分, (5) 式1分,(6) 式1分,(7) 式1分, (9) 式2分.
二、(20分)一长为2l的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上,杆的两端分别固定一质量为m的小物块D和一质量为(为常数)的小物块B,杆可绕通过小物块B所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动. 一质量为m的小环C套在细杆上(C与杆密接),可沿杆滑动,环C与杆之间的摩擦可忽略. 一轻质弹簧原长为l,劲度系数为k,两端分别与小环C和物块B相连. 一质量为m的小滑块A在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D,并与之发生完全弹性正碰,碰撞时间极短. 碰撞时滑块C恰好静止在距轴为()处.
1. 若碰前滑块A的速度为,求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量;
2. 若碰后物块D、C和杆刚好做匀速转动,求碰前滑块A的速度应满足的条件.
参考解答:
1. 由于碰撞时间很小,弹簧来不及伸缩碰撞已结束. 设碰后A、C、D的速度分别为、、,显然有
. (1)
以A、B、C、D为系统,在碰撞过程中,系统相对于轴不受外力矩作用,其相对于轴的角动量守恒
. (2)
由于轴对系统的作用力不做功,系统内仅有弹力起作用,所以系统机械能守恒. 又由于碰撞时间很小,弹簧来不及伸缩碰撞已结束,所以不必考虑弹性势能的变化. 故
. (3)
由(1)、(2)、(3) 式解得
(4)
代替(3) 式,可利用弹性碰撞特点
. (3’)
同样可解出(4). ]
设碰撞过程中D对A的作用力为,对A用动量定理有
, (5)
方向与方向相反. 于是,A对D的作用力为的冲量为
(6)
方向与方向相同.
以B、C、D为系统,设其质心离转轴的距离为,则
. (7)
质心在碰后瞬间的速度为
. (8)
轴与杆的作用时间也为,设轴对杆的作用力为,由质心运动定理有
. (9)
由此得
. (10)
方向与方向相同. 因而,轴受到杆的作用力的冲量为
, (11)
方向与方向相反. 注意:因弹簧处在拉伸状态,碰前轴已受到沿杆方向的作用力;在碰撞过程中还有与向心力有关的力作用于轴. 但有限大小的力在无限小的碰撞时间内的冲量趋于零,已忽略.
代替(7)-(9) 式,可利用对于系统的动量定理
. ]
也可由对质心的角动量定理代替(7)-(9) 式. ]
2. 值得注意的是,(1)、(2)、(3) 式是当碰撞时间极短、以至于弹簧来不及伸缩的条件下才成立的. 如果弹簧的弹力恰好提供滑块C以速度绕过B的轴做匀速圆周运动的向心力,即
(12)
则弹簧总保持其长度不变,(1)、(2)、(3) 式是成立的. 由(12)式得碰前滑块A的速度应满足的条件
(13)
可见,为了使碰撞后系统能保持匀速转动,碰前滑块A的速度大小应满足(13)式.
评分标准:本题20分.
第1问16分,(1)式1分, (2) 式2分,(3) 式2分,(4) 式2分, (5) 式2分,(6) 式1分,(7) 式1分,(8) 式