矩阵分析理论.doc

一、填空题:(每空3分,共20分)
1. ;
2.
3.
二、解答下列各题:(每题10分,共50分)
:由可得--5’
则在基下的矩阵为
------------------8’

=----------------------------------10’
2. 解:幂级数的收敛半径为,
因为且谱半径,所以绝对收敛。―――――――――
5'
因为=, ――――8'
所以=-----------------10'
3. 解:---------------------------------------------------4’
----------------------------------8’
由哈密顿开莱定理可得
=A-------------------10’
4. 解:,
盖尔圆盘为-------------8’
所以A的特征值分布范围为-----------------------------------------------------10’
5. 解:
故A有三个不同的特征值,从而A可与对角形矩阵相似,与特征值相应的三个线性无关的特征向量为:

故得
所以所求的解为:

三、证明: ,,利用数学归纳法证明当时,-----------------------------------------------------8’
则----------------------------------------------------------12’
四、解:方程组的系数矩阵。-------------------------------(2分)
由
-------------------(7分)
因此

其中是任意常数。-------------------------------(10分)
则就是的一个减号逆。-------------------------------(12分)
因此,该方程组的通解为:

其中。----------------------------------------------------------------------------------(14分)
五、证明:(16分)
:由方阵范数的定义,对于已知的方阵范数,有
, ----------(2分)
已知故--------------------------------(4分)
对此方阵范数,