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函数的凹向与拐点
如果在某区间内,曲线弧位于其上任意一点的切线的上方,则称曲线在这个区间内是上凹的;曲线弧位于其上任意一点的切线的下方,则称曲线在这个区间内是下凹的.
设函数 f (x) 在区间(a,b) 内存在二阶导数,
(1) 若 a < x < b 时,恒有,则曲线 y = f (x) 在(a,b) 内上凹;
(2) 若 a < x < b 时,恒有,则曲线 y = f (x) 在(a,b) 内下凹.
曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点.
求拐点的一般步骤:
①求函数的二阶导数;
②令,解出全部根,并求出所有二阶导数不存在的点;
③对步骤②求出的每一个点,检查其左、右邻近的的符号,如果异号则该点为曲线的拐点;如果同号则该点不是曲线的拐点.
例1 求曲线的凹向区间与拐点.
x
f (x)
f (x)
(-,0)
+
∪
0
0
拐点(0,1)
(0,1)
-
∩
1
0
拐点(1,0)
(1,+)
+
∪
f (x) 的凹向和拐点
解
令,解得 x = 0,x = 1.
例2 求曲线的凹向区间与拐点.
解
令,解得
只要,恒有,即在的左、右邻近是同号,而函数没有二阶导数不存在的点,
所以曲线没有拐点,
它在整个是上凹的.
曲线的渐近线
如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时,该点与某条直线的距离趋于零,则称此直线为曲线的渐近线.
1. 水平渐近线
设曲线 y = f (x),如果则称直线 y = c 为曲线 y = f (x) 的水平渐近线.
2. 铅垂渐近线
如果曲线 y = f (x) 在点x0 间断,且则称直线为曲线 y = f (x) 的铅垂渐近线.
例4 求曲线的水平渐近线和铅垂渐近线.
解因为,
所以 y = 0 是曲线的
水平渐近线.
又因为 5 是间断点,
且,
所以 x = 5 是曲线的
铅垂渐近线.