主要内容
第四章随机变量的数字特征
(一) 数学期望(均值)
(1-1) X:离散型.
分布律:
Y=g(X)(g 为连续函数)
函数:
(1-2)
(一) 数学期望(均值)
若 Z=g(X,Y)(g为二元连续函数)
(1-3)设( X,Y ) 离散型随机变量.
分布律为:
则
(2-1)X: 连续型概率密度为f (x).
Y = g(X)
(g 为连续函数)
(2-2)函数:
则
(2-3)设(X,Y)是连续型随机变量,
概率密度为 f (x , y).
若 Z=g(X,Y)(g为二元连续函数)
(3)数学期望的性质:
假设以下随机变量的数学期望均存在.
1. E(C)=C, (C 是常数)
2. E(CX )=CE(X ), (C 是常数)
3. E(XY )=E(X ) E(Y ),
4. 设X与Y 相互独立,则 E(XY )=E(X )E(Y)
(二)方差
1。若X: 离散型.
2。若X: f(x)
(1)
计算公式:
3。均方差或标准差:
假设下列方差均存在
1。 D(C)=0, (C为常数)
2。 D(CX)=C2 D(X), (C为常数)
3。设X与Y是两个随机变量,则有
特别,若X与Y相互独立: D(X±Y)=D(X)+D(Y)
4。 D(X)=0 P{X=E(X)}=1.
(2)方差的性质
5。若X服从指数分布,则 E(X)= , D(X)= .
3。若X~π(),则 E(X)= , D(X)= .
4。若X服从区间(a,b)均匀分布,
则 E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)2/12.
6。若X~N(,2),则E(X)= , D(X)= 2.
2。若X~b(n,p ),则 E(X)=np, D(X)=npq.
1。若X服从两点分布,则 E(X)=p, D(X)=pq.
(三)一些常见分布的期望与方差
切比雪夫不等式:
定理设随机变量X的数学期望E(X)=,方差D(X)=2.
则对任意的正数,有
上式称为切比雪夫(chebyshev)不等式.
[注] 此不等式给出了
在随机变量的分布未知的情况下,
事件的概率的一种估计方法.
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