大学物理第09章第3次课--简谐运动的能量和合成.ppt

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§9. 4 简谐运动的能量
前几节从运动学和动力学角度讨论了弹簧振子和单摆的运动规律.
1. 定性分析
弹簧振子和单摆都是作简谐运动.
本节从能量角度来讨论简谐运动.
一、弹簧振子的能量及其转换
(i) 具有速度的物体具有动能;
(ii) 发生形变的物体具有弹性势能;
(iii) 弹簧振子在振动过程中, 弹簧发生形变且物体具有速度(除三个特殊点外);
(iv) 弹簧振子在振动过程中, 具有动能和弹性势能(除三个特殊点外);
(v) 弹簧振子在振动过程中, 能量的转变过程为
平衡位置O点
正最大位移 P 点
负最大位移 Q 点
动能转为弹性势能
弹性势能转为动能
弹性势能转为动能
动能转为弹性势能
x =0
Q
P
x=A
x=-A
/17
2
设t时刻, 物体的位移为x, 速度为v, 则
动能为
2. 定量分析
(1)
(2)
(3)
势能为
(4)
4
T
2
T
4
3
T
Ek
4
T
2
T
4
3
T
Ep
由(3)(4)两式可见, 动能和弹性势能都随时间作周期性变化.
但变化的趋势是相反的: 动能最大时, 弹性势能最小;
动能最小时, 弹性势能最大.
体系的总能量为
(5)
/17
§9. 4 简谐运动的能量
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体系的总能量
(5)
即体系的总能量等于物体处于最大位移处的势能.
也等于物体在平衡位置时的动能(此时动能为最大).
4
T
2
T
4
3
T
Ek ,Ep
E
1. 定性分析
二、单摆的能量及其转换
(i) 具有物体速度, 因此具有动能;
(ii) 物体处于重力场中, 因此物体具有重力势能;
(iii) 单摆在摆动过程中, 具有动能和重力势能;
(iv) 单摆在振动过程中, 能量的转变过程为
平衡位置O点
正最大位移 P 点
负最大位移 Q 点
动能转为重力势能
重力势能转为动能
重力势能转为动能
动能转为重力势能
体系的总能量是一个常数.
/17
§9. 4 简谐运动的能量
P
Q
4
设t时刻, 速度为v, 则
动能为
2. 定量分析
(6)
(7)
(8)
(9)
4
T
2
T
4
3
T
Ek
4
T
2
T
4
3
T
Ep
由(8)(9)两式可见, 与弹簧振子相似, 单摆的动能和重力势能都随时间作周期性变化. 但变化的趋势是相反的: 动能最大时, 重力势能最小;
动能最小时, 重力势能最大. 如图所示.
取平衡位置O为重力势能零点, 则单摆的重力势能为
P
Q
/17
§9. 4 简谐运动的能量
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4
T
2
T
4
3
T
Ek
4
T
2
T
4
3
T
Ep
单摆的总能量为
(10)
P
即体系的总能量也是一个常数.
三、简谐运动的势能特点
弹簧振子的弹性势能为
单摆的重力势能为
由此可见, 简谐运动的势能都与位移的二次方成正比
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§9. 4 简谐运动的能量
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弹簧振子的总能量:
弹簧振子在振动过程, 总能量保持不变.
单摆的总能量:
单摆在摆动过程, 总能量保持不变.
因为弹性力和重力都是保守力,作简谐运动的系统机械能守恒.
四、例题分析
例质量为的物体,以振幅作简谐运动,其最大加速度为,求:
(1)振动的周期;
(2)通过平衡位置的动能;
(3)总能量;
(4)物体在何处其动能和势能相等?
解(1)求振动周期
加速度为
因此,
由此可得
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§9. 4 简谐运动的能量
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周期为
(2)求通过平衡位置的动能
(3)求总能量
(4)求动能与势能相等的位置
物体通过平衡位置时的动能就是体系的最大动能.
由
得
因此,
因为体系的总能量等于体系的最大动能或最大势能.
所以,
由此可得, 动能与势能相等时的位移为
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§9. 4 简谐运动的能量
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§9. 5 简谐运动的合成
设两个简谐运动的方程分别为
(1)
一、两个同方向、同频率简谐运动的合成
前几节讨论的弹簧振子和单摆是最简单的简谐运动.
但实际问题中的振动通常是多个振动合成的结果, 如多部车辆同时通过一坐桥梁时, 桥的振动. 因此一般情况下振动合成较复杂,
本节仅讨论几种简单而重要的简谐振动的合成。
运动的合成: 如江河中的渡轮运动.
渡轮的运动是水流的运动与渡轮相对于小运动的合成.
合位移为
/17
k
k
9
合位移为
(2)
(4)
由(4)式可见, 合振动仍为简谐运动.
另一方面, 由(3)式可得
(3)