角动量定理与万有引力.ppt

第6-7章角动量定理与万有引力
另一个守恒量-角动量
万有引力定律
一、孤立体系的角动量守恒
第4章我们介绍了与平动相联系的守恒量——动量,对于转动我们希望能找到这样一个物理量——角动量,它具备以下的条件:
若质点关于空间某一点作平动,它取值为零,它取非零值表示质点关于该空间点作转动;
对于孤立体系,它保持守恒。
下面我们在孤立体系中寻找这样的物理量。
单质点孤立体系和掠面速度
单质点的孤立体系就是不受外力作用的自由质点,它作匀速直线运动(我们取惯性参考系,且静止看成是匀速直线运动的特例)。
如图,设该质点位于P点,沿直线 AB 从 A 向 B 方向运动,在相等的时间间隔⊿t的位移是⊿s = v⊿t。
由于 OP 的方向(即 r 的方向)在不断改变,故 P 点相对于 O 点有转动。
单质点孤立体系和掠面速度
由图可见,各时间间隔⊿t 内矢径 r 扫过的那些小三角形具有公共的高线 OH,因而有相等的面积,于是我们找到的守恒量是:矢径 r 在单位时间内扫过的面积 S,我们称该面积 S 为质点 P 的掠面速度。设矢径 r 与 AB 线的夹角为θ,故对单质点的孤立体系有:
该式也可以换一种表达法,即掠面速度对时间的微商为零:
单质点孤立体系和掠面速度
当然,上面所考虑的只是平面运动的情况,对于单个的自由质点,它只可能在某个平面上运动。但是我们接下来要考虑多个质点,仅考虑某一个平面就不行了,我们可以利用矢量运算法则,将掠面速度定义为与该平面垂直的矢量。即:
这样,对于单质点的孤立体系,我们找到的守恒量是掠面速度矢量 S。当然,它与参考点的选择有关,若参考点选在直线 AB 上,则掠面速度为零。
两个质点的孤立体系和角动量
对于两个质点的孤立体系,它们虽然不受外力作用,但两个质点之间是有作用力的。我们现在来寻找守恒量,首先我们能想到的是它们每个质点掠面速度的和。为此,在空间建立惯性参考系,如图,两个质点的质量分别为 m1, m2,其位矢和速度分别为 r1, r2 和 v1, v2 。设其掠面速度分别为 S1, S2 ,有:
两个质点的孤立体系和角动量
而掠面速度对时间的微商为:
其中 i =1, 2。为了对上式中的 i 求和,我们列出质点运动的牛顿方程:
因 m1, m2 可以为任意值,故
两个质点的孤立体系和角动量
但从前几式可看出:
其中利用了牛顿第三定律:f 的方向沿两质点 m1, m2 的连线,即 f // (r1﹣r2 )。于是我们找到了守恒量:
两个质点的孤立体系和角动量
称为单个质点对于原点的角动量或动量矩;
定义:
称为体系对于原点的角动量或动量矩。
由上述的推导可知:两个质点孤立体系的角动量守恒。
对于多质点孤立体系同样可以得出角动量守恒的结论,我们在下面介绍。
说明:
角动量是矢量,单个质点的角动量是 r 和 p 的矢积,因而既垂直于 r,又垂直于 p,即垂直于 r 和 p 所确定的平面,其指向由右手定则决定。
2. 角动量的单位是千克·米2 /秒,量纲为 ML2T -1