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第四章数值积分与数值微分
计算方法
—— Gauss 求积公式
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本讲内容
一般理论: 公式, 余项, 收敛性, 稳定性
Gauss-Legendre 求积公式
Gauss-Chebyshev 求积公式
无限区间的 Gauss 求积公式
Gauss 求积公式
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Gauss 型求积公式
考虑求积公式
含 2n+2 个参数(节点与系数), 为了使该公式具有尽可能高的代数精度, 可将 f (x) = 1, x, x2, …, x2n+1 代入公式, 使其精确成立, 则可构造出代数精度至少为 2n+1 的求积公式!
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举例
例:试确定节点 xi 和系数 Ai ,使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度,并求出此求积公式的代数精度。
解:
将 f (x)=1, x, x2, x3 代入求积公式,使其精确成立,可得
易验证该公式对 f (x)=x4 不精确成立,
所以此求积公式具有 3 次代数精度。
非线性方程组
求解较困难
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Gauss 型求积公式
一般情形: 考虑机械带权求积公式
定义:若存节点在 xi [a, b] 及系数 Ai ,使得上面的求积公式具有 2n+1 次代数精度,则称节点 xi 为高斯点,Ai 为高斯系数,求积公式为高斯型求积公式
性质:上面的求积公式至多具有 2n+1 次代数精度
将代入验证即可
Gauss 公式在所有机械求积公式中代数精度最高
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Gauss 点
如何计算Gauss点 xi 和高斯系数 Ai
法一: 解非线性方程组
太困难! 
法二: 分开计算
先确定 Gauss 点
再通过解线性方程组计算 Gauss 系数
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Gauss 点
定理:节点 xi (i = 0, 1, …, n) 是 Gauss点的充要条件是:多项式与任意次数不超过 n 的多项式 p(x) 关于权函数(x) 正交,即
且高斯系数 Ai 为
其中 li(x) 为以 xi 为节点的 Lagrange 基函数。
证明: 自学
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Gauss 点
证明:
x0 … xn 为 Gauss 点
设 p(x)Hn ,则 p(x)n+1(x) H2n+1
“”
设
代数精度 2n+1
要证 xi 为 Gauss 点,即公式对 p(x) H2n+1精确成立
“”
p(x), r(x)Hn
①正交性
②公式是插值型的
将 li(x) 为代入即可得 Ai 的表达式。
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Gauss 公式
设 p0(x), p1(x), , pn(x) , 是[a, b] 上带权(x) 正交的多项式族,则 Gauss 点即为 pn+1(x) 的零点
Gauss 点的计算
求出n+1(x) 的表达式
计算其零点
与 1, x, x2, ..., xn 带权正交
Gauss 系数的计算
将 f (x) = 1, x, x2, …, xn 代入,解方程
或利用 Lagrange 基函数
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举例
例:试确定节点 xi 和系数 Ai ,使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度。
解:
易知是[0, 1] 上的权函数
具有最高代数精度的机械求积公式是 Gauss 型公式
设
节点 x0 , x1 是 Gauss点
2(x) 与 1, x 带权正交
令2(x) = 0, 解得
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