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乘法公式
一、平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2
要注意等式的特点:
(1)等式的左边是两个二项式的乘积,且这两个二项式中,有一项相同,另一项互为相反数;
(2)等式的右边是一个二项式,且为两个因式中相同项的平方减去互为相反数的项的平方.
值得注意的是,这个公式中的字母a,b可以表示数,,也可以逆用做为快速计算的工具.
例1 下列各式中不能用平方差公式计算的是( ).
A.(a-b)(-a-b) B.(a2-b2)(a2+b2)
C.(a+b)(-a-b) D.(b2-a2)(-a2-b2)
解:,A中,-b是相同的项,a与-a是性质符号相反的项,故可使用;B中a2是相同项,-b2与b2是互为相反数符合公式特点;,不符合上述的等式的特征,因此不可使用平方差公式计算.
例2 运用平方差公式计算:
(1)( x2-y)(-y- x2);
(2)(a-3)(a2+9)(a+3).
解:(1)( x2-y)(-y- x2)
=(-y + x2)(-y- x2)
=(-y)2-( x2)2
=y2- x4 ;
(2)(a-3)(a2+9)(a+3)
=(a-3)(a+3)(a2+9)
=(a2-32)(a 2+9)
=(a2-9)(a2+9)
=a4-81 .
例3 计算:
(1)- ;
(2)(2x2+3x+1)(2x2-3x+1).
分析:(1)中的式子具有平方差公式的右边的形式,可以逆用平方差公式;(2)虽然没有明显的符合平方差公式的特点,值得注意的是,平方差公式中的字母a,b可以表示数,也可以是单项式或多项式,我们可以把2x2+1看做公式中字母a,,利用平方差可以简化整式的计算.
解:(1)-
=(+)(-)
=100×9
=900 ;
(2)(2x2+3x+1)(2x2-3x+1)
=(2x2+1)2-(3x)2
=4x4+4x2+1-9x2 =4x4-5x2+1

二、完全平方公式: (a+b)2=a 2+2ab+b 2
(a-b)2=a 2-2ab+b 2.
二项式的平方,等于其中每一项(连同它们前面的符号)的平方,加上这两项积的两倍.
完全平方公式是计算两数和或差的平方的简算公式,,(a±b)2=a2±b2,或(a-b)2=a2-2ab-b2等错误.
需要指出的是,如同前面的平方差公式一样,这里的字母a,b可以表示数,也可以是单项式或多项式.
例1 利用完全平方公式计算:
(1)(-3a-5)2 ; (2)(a-b+c)2 .
分析:有关三项式的平方可以看作是二项式的平方,如(a-b+c)2=[(a-b)+c]2或[a-(b-c)]2,通过两次应用完全平方公式来计算.
解:(1)(-3a-5)2
=(-3a)2-2×(-3a)×5 + 5 2
=9a2 + 30a + 25
(2)(a-b+c)2
=[(a-b)+c]2
=(a-b)
2 + 2(a-b)c + c2
=a 2-2ab+b 2+2ac-2bc + c2
=a 2+b 2+ c2+2ac-2ab-2bc .
例2利用完全平方公式进行速算.
(1)1012 (2)992
解: (1)1012 分析:将1012变形为(100+1)2原式可
=(100+1)2 利用完全平方公式来速算.
=1002+2×100×1+12
=10201
解: (2)992 分析:将992变形为(100-1)2原式可
=(100-1)2 利用完全平方公式来速算.
=1002-2×100×1+12
=9801
例3 计算:
(1) 992-98×100 ;(2)49×51-2 499 .
解:(1)992-98×100
=(100-1)2-98×100
=1002-2×100+1-9800
=10000 - 200-9800+1
=1;
(2)49×51-2499
=(50-1)(50+1)-2499
=2500-1-2