数值分析第7章非线性方程的数值解法.ppt

在科学研究的数学问题中更多的是非线性问题,它们又常常归结为非线性方程或非线性方程组的求解问题。
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第7章非线性方程与方程组的数值解法/* Numerical Solutions of Nonlinear Equations*/
方程求根与二分法
不动点迭代法及其收敛性
迭代收敛的加速方法
牛顿法
弦截法与抛物线法
求根问题的敏感性与多项式的零点
非线性方程组的数值解法
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方程求根与二分法
引言
()
单变量非线性方程的一般形式
其中也可以是无穷区间.
f(x)是高次多项式函数或超越函数
()
如果函数是多项式函数,即
其中为实数,则称方程()为
次代数方程.
超越函数
不能表示为多项式的函数
如(x)=3x5-2x4+8x2-7x+1
(x)=e2x+1-xln(sinx)-2
高次代数方程
超越方程
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若是的重零点,且充分光滑,则
次方程在复数域有且只有个根(含重根, 重根为个根).
超越方程
它在整个轴上有无穷多个解,若取值范围不同,解也
不同,因此讨论非线性方程()的求解必须强调的定
义域,即的求解区间
如果实数满足,则称是方程()的
根,或称是的零点.
若可分解为
其中为正整数,且则称为方程()的
重根,或为的重零点, 时为单根.
结论
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通常方程根的数值解法大致分为三个步骤进行:
非线性问题一般不存在直接的求解公式,要使用迭代法.
本章将介绍常用的求解非线性方程的近似根的几种数值解法
① 判定根的存在性。即方程有没有根?如果有根,有几个根?
②确定根的分布范围。即将每一个根用区间隔离开来,这个过程实际上是获得方程各根的初始近似值。
③根的精确化。将根的初始近似值按某种方法逐步精确化,直到满足预先要求的精度为止.
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如何求方程的有根区间?
设 f(x)∈C[a, b], 且 f(a) f(b)<0, 存在ξ∈(a,b) ,使 f(ξ)=0.
根的存在性定理——闭区间上连续函数的介值定理
有根区间
如果f(x)在[a,b]上还是单调递增或递减的,则f(x)=0仅有一
个实根。
(1)描图法
画出y=f(x)的略图,从而看出曲线与x轴交点的大致位置。也可将f(x)=0等价变形为g1(x)=g2(x)的形式,y=g1(x)与y=g2(x)两曲线交点的横坐标所在的子区间即为含根区间。
例1 求方程3x-1-cosx=0的有根区间。
方程等价变形为3x-1=cosx,
y=3x-1与y=cosx的图像只有一个交点位于[,1]内。
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对的根进行搜索计算,
例2 求方程的有根区间.
由此可知方程的有根区间为
(2)逐步搜索法
先确定方程f(x)=0的所有实根所在的区间为[a,b],从x0=a 出发,以步长 h=(b-a)/n
其中n是正整数,在[a,b]内取定节点:
xi=x0+ih (i=0,1,2,……,n)
计算f(xi)的值,依据函数值异号及实根的个数确定有根区间,通过调整步长,总可找到所有有根区间。
解
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二分法
求解方程f(x)= 0的近似根的一种常用的简单方法。
原理
基本思想
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)f(b)<0,则 f(x)= 0在(a,b)内必有实根区间。
逐步将区间二等分, 通过判断区间端点f(x)的符号, 逐步将有根区间缩小, 直至有根区间足够地小, 便可求出满足精度要求的近似根。
具体做法
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以此类推
由二分法的过程知
(1)
(2)
(3)
作为根的近似
可得一个近似根的序列
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()
且
(4)
只要二分足够多次(即充分大),便有
这里为预定的精度.
要使
解:
例3 用二分法求方程在区间上的根,误差限为,问至少需对分多少次?
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