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专训2 四种常见的几何关系的探究
名师点金:全等三角形的性质和判定是初中数学的重点内容,也是学****其他几何知识的基础,三角形全等的判定和性质是证明线段相等、角相等的重要依据,并由此还可以获得直线之间的垂直(平行)关系,线段(面积)的和、差、倍、分关系.
位置关系
,已知BE⊥AC,CF⊥AB,BM==:AM⊥AN.
(第1题)
相等关系
2.【2015·珠海】已知△ABC,AB=AC,将△ABC沿BC方向平移得到△DEF.
(1)如图①,连接BD,AF,则BD________AF.(填“>”“<”或“=”)
(2)如图②,M为AB边上一点,过M作BC的平行线MN分别交边AC,DE,DF于点G,H,N,连接BH,:BH=
(第2题)
和差关系
,∠BCA=α,CA=CB,C,E,F分别是直线CD上的三点,且∠BEC=∠CFA=α,请提出对EF,BE,AF三条线段之间数量关系的合理猜想,并证明.
(第3题)
不等关系
4.【2016·贵阳】(1)阅读理解:
如图①,在△ABC中,若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.
解决此问题可以用如下方法:延长AD到点E使DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△;
(2)问题解决:
如图②,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证:BE+CF>EF;
(3)问题拓展:
如图③,在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,CB=CD, ∠BCD=140°,以C为顶点作一个70°角,角的两边分别交AB,AD于E,F两点,连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系,并加以证明.·
(第4题)
答案
:如图,∵BE⊥AC,CF⊥AB,
∴∠1+∠BAC=90°,∠2+∠BAC=90°.
∴∠1=∠2.
又∵BM=CA,AB=NC,
∴△ABM≌△NCA.
∴∠3=∠N.
∵∠N+∠4=90°,
∴∠3+∠4=90°,
即∠MAN=90°.
∴AM⊥AN.
(第1题)
2.(1)=
(2)证明:将△DEF沿FE方向平移,使点E与点C重合,设ED平移后与MN相交于R,如图,
(第2题)
∵MN∥BC,RC∥EH,
∴∠GRC=∠RHE=∠DEF,∠RGC=∠GCB,
易得∠GRC=∠RGC,
∴△CGR是等腰三角形.
∴CG=CR.
又∵MN∥BF,CR∥EH,
∴四边形RCEH为平行四边形,
∴CR=EH.
∴CG=HE.
由平移的性质得BC=EF,
∴BC+CE=CE+EF,即BE=CF.
易得∠HEB=∠GCF,
∴△BEH≌△FCG(SAS),
∴BH=FG.
:猜想:EF=BE+AF.
证明:∵∠BCE+∠CBE+∠BEC=180°,
∠BCE+∠ACF+∠BCA=180°,
∠B