专训3 等腰三角形中四种常用作辅助线的方法.doc

专训3 等腰三角形中四种常用作辅助线的方法
名师点金:几何图形中添加辅助线,往往能把分散的条件集中,使隐蔽的条件显露,将复杂的问题简单化,例如:作“三线”中的“一线”,作平行线构造等腰(边)三角形,利用截长补短法证线段和、差关系或求角的度数,利用加倍折半法证线段的倍分关系.
作“三线”中的“一线”
,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,过点A作EF∥BC,且AE=AF,求证:DE=DF.【来源:21·世纪·教育·网】
(第1题)
作平行线法
,在△ABC中,AB=AC,点P从点B出发沿线段BA移动,同时,点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,点P,Q移动的速度相同,P,Q与直线BC相交于点D.
(1)如图①,求证:PD=QD;
(2)如图②,过点P作直线BC的垂线,垂足为E,当P,Q在移动的过程中,线段BE,DE,CD中是否存在长度保持不变的线段?
(第2题)
截长(补短)法
,在△ABC中,AB=AC,D是△ABC外一点,且∠ABD=60°,∠ACD=60°.求证:BD+DC=AB..com
(第3题)
加倍折半法
,在△ABC中,∠BAC=120°,AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,求∠C的度数.
(第4题)
答案
:如图,连接AD.∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC.∵EF∥BC,∴AD⊥EF.
又∵AE=AF,∴AD垂直平分EF.
∴DE=DF.
(第1题)
2.(1)证明:如图①,过点P作PF∥AC交BC于F.
∵点P和点Q同时出发,且速度相同,∴BP=CQ.
∵PF∥AQ,∴∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠CQD.
又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.
∴∠B=∠PFB.∴BP=PF.∴PF=CQ.
在△PFD和△QCD中,∠DPF=∠DQC,∠PDF=∠QDC,PF=CQ,∴△PFD≌△QCD(AAS),∴PD=
(2)解::如图②,过点P作PF∥(1)知PB=PF.∵PE⊥BF,∴BE=(1)知△PFD≌△QCD,∴FD=CD,∴ED=EF+FD=BE+CD=BC,∴·1·c·n·j·y
(第2题)
:如图,延长BD至E,使BE