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大学物理205339.doc第十四章稳恒电流的磁场
P117.
I
C
O
b
a
D
A

通有电流I的导线形状如图所示, = ?
[解答]-萨定律:
,
圆弧上的电流元与到O点的矢径垂直,在O点产生的磁感应强度大小为
,
由于
dl = adφ,
积分得
l
r
θ
Idl
Idl
C
O
b
a
D
A
.
,电流元在O点产生的磁感应强度为
,
由于
l = bcot(π- θ) = -bcotθ,
所以
dl = bdθ/sin2θ;
又由于
r = b/sin(π- θ) = b/sinθ,
可得
,
积分得
同理可得CD段在O点产生的磁感应强度B3 =
.
[讨论](1)假设圆弧张角为φ,电流在半径为a的圆心处产生的磁感应强度为
,
当时,可得
.
B
I
θ1
b
θ2
(2)有限长直导线产生的磁感应大小为
.
对于AC段,θ1 = π/2、θ2 = 3π/4;对于CD段,θ1 = π/4、θ2 = π/2,都可得
.
如果不用毕-萨定律,可直接引用由毕-萨定律所得出的结果.
X
Y
R
I
Z
O

如图所示的载流导线,图中半圆的的半径为R, = ?
[解答]在直线电流的磁感应强度公式中:
,
令θ1 = 0、θ2 = π/2,或者θ1 = π/2、θ2 = π,就得半无限长导线在端点半径为R的圆心上产生的磁感应强度
.
两无限长半直线在O点产生的磁场方向都向着-Z方向,大小为Bz = μ0I/2πR.
半圆在O处产生的磁场方向沿着-X方向,大小为
Bx = μ0I/4R.
O点的磁感应强度为
.
场强大小为
,
与X轴的夹角为
.
I
O
D
B
C
A

如图所示的正方形线圈ABCD,每边长为a, = ?
[解答]正方形每一边到O点的距离都是a/2,在O点产生的磁场大小相等、,利用直线电流的磁感应强度公式:
,
令θ1 = π/4、θ2 = 3π/4、R = a/2,AD在O产生的场强为
,
O点的磁感应强度为
,
方向垂直纸面向里.
x
O2C
I
O
x
RB
O1C
2a
I
RB

两个共轴圆线圈,每个线圈中的电流强度都是I,半径为R,两个圆心间距离O1O2 = R,试证:O1、O2中点O处附近为均匀磁场.
[证明]方法一::
.
设两线圈相距为2a,以O点为原点建立坐标,两线圈在x点产生的场强分别为
,
.
方向相同,总场强为B = B1 + B2.
一个线圈产生的磁感应强度的曲线是凸状,,如果它们相距太近,其曲线就是更高的凸状;如果它们相距太远,其曲线的中间部分就会下凹,,两个拐点就会在中间重合,这时的磁场最均匀,而拐点处的二阶导数为零.
设k = μ0IR2/2,则
B对x求一阶导数得
,
求二阶导数得
,
在x = 0处d2B/dx2 = 0,得R2 = 4a2,所以
2a = R.
x = 0处的场强为
.
方法二:
.
设,则
.
同理可得
.
当x很小时,二项式展开公式为
.
将B1和B2按二项式展开,保留二次项,总场强为
令R2 - 4a2 = 0,即a = R/2,得
,
可知:O点附近为均强磁场.
O'
O
R
i
h

将半径为R的无限长导体圆柱面,沿轴向割去一宽为h(h<<R)的无限长缝后,沿轴向均匀地通有电流,面密度为i,求轴线上的磁感应强度B = ?
[解答]方法一:,如果补上长缝,由于对称的缘故,,等效于同时加上两个大小相等,方向相反的电流,其中,与i相同的电流补上了长缝,与i相反的电流大小为I = ih.
在轴线上产生的磁感应强度为
.
x
y
O
R
θ
ds
α
dB
dBy
dBx
方法二: