2.3-2.4逆矩阵及矩阵的分块.ppt

2.3-2.4逆矩阵及矩阵的分块.ppt一、逆矩阵的定义
二、逆矩阵的性质
三、逆矩阵的应用
第三节逆矩阵
定义7 对于n阶矩阵A如果存在n阶矩阵B使得
ABBAE
则称矩阵A是可逆的并称B为A的逆矩阵(Inverse Matrix)
简称逆阵
A的逆阵记为A1. 即,B  A1 
说明:如果矩阵A是可逆的那么A的逆阵是惟一的
一、逆矩阵的定义
定理2 若|A|0则矩阵A可逆且
A*为矩阵A的伴随矩阵
定理1 若矩阵A可逆则|A|0
二、逆矩阵的性质
其中
推论若ABE(BAE)则BA1
这是因为|A||B|10
A1EA1
A1(AB)
(A1A)B
BEB
于是
因而A1存在
故|A|0
二、逆矩阵的性质
矩阵
A
可
逆
Û
|
A
|
¹
0
;
若
A
可
逆
,
则
*
|
|
1
1
A
A
A
=
-
.
(3)若A、B为同型可逆矩阵则AB可逆且(AB)1B1A1
(2) 若A可逆数0则A可逆且(A)11A1
(1)若A可逆则A1也可逆且(A1)1A
逆矩阵的运算性质
(4)若A可逆则AT也可逆且(AT)1(A  1 )T
二、逆矩阵的性质
注:|A|0时,k 为正整数,我们定义
① A0=E ② Ak=(A1 )k
故A.A μ=A+ μ,(A ) μ= A μ(,μ为整数)
2. 对于n阶矩阵A当|A|0时称A是非奇异矩阵否则称A为奇异矩阵
二、逆矩阵的性质
例
1
求二阶矩阵
ø
ö
ç
è
æ
=
d
c
b
a
A
的逆阵.
.
三、逆矩阵的应用
例2 设
求矩阵X使其满足AXBC
APP1
AnPnP1

P2P1
A2PP1PP1
解
而
求
例3
设
三、逆矩阵的应用
设(x)a0a1xamxm为x的m次多项式 A为n
阶矩阵记
(A)a0Ea1AamAm
(A)称为矩阵A的m次多项式
矩阵多项式
注(1) 因为矩阵Ak , Al 和 E 都是可交换的,所以
矩阵A的两个多项式(A) 和 f (A) 总是可交换的,即
总有
三、逆矩阵的应用
注(2) A的几个多项式可以像数 x的多项式一样相乘或分解因式. 例如
三、逆矩阵的应用
设(x)a0a1xamxm为x的m次多项式 A为n
阶矩阵记
(A)a0Ea1AamAm
(A)称为矩阵A的m次多项式
矩阵多项式