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有关抽象函数的全面探析 .doc有关抽象函数的全面探析
摘要:抽象函数是函数中的一类综合性较强的问题。这类问题不仅能考查学生的数学基础知识,更能考查学生的数学综合能力。
关键词:抽象函数;定义域;值域;对称性
抽象函数是一种重要的数学概念。我们把没有给出具体解析式,其一般形式为y=f(x),且无法用数字和字母的函数称为抽象函数。由于抽象函数的问题通常将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图像集于一身。这类问题考查学生对数学符号语言的理解和接受能力、对一般和特殊关系的认识以及数学的综合能力。
解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高。所以近几年来高考题中不断出现,在2009年的全国各地高考试题中,抽象函数遍地开花。但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心。下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法。
一、抽象函数的定义域
例1已知函数f(x)的定义域为[1,3],求出函数g(x)=f(x+a)+f(x-a)(a>0)的定义域。
解析:由由a>0
知只有当0<a<1时,不等式组才有解,具体为{x|1+a<x≤3-a;否则不等式组的解集为空集,这说明当且仅当0<a<1时,g(x)才能是x的函数,且其定义域为(1+a,3-a]。
点评:(x)的定义域为[a,b],则f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b,解出x即可得解;[g(x)]的定义域为[a,b],则f(x)的定义域即是g(x)在x[a,b]上的值域。
二、抽象函数的值域
解决抽象函数的值域问题——由定义域与对应法则决定。
例2若函数y=f(x+1)的值域为[-1,1]求y=(3x+2)的值域。
解析:因为函数y=f(3x+2)中的定义域与对应法则与函数y=f(x+1)的定义域与对应法则完全相同,故函数y=f(3x+2)的值域也为[-1,1]。
三、抽象函数的奇偶性
四、抽象函数的对称性
例3已知函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数,函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称,则g(x)+g(-x)的值为()
A、2B、0C、1D、不能确定
解析:由y=f(2x+1)求得其反函数为y=,∵y=f(2x+1)是奇函数,∴y=也是奇函数,∴。∴,,而函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称,∴g(x)+g(-x)=故选A。
五、抽象函数的周期性
例4、(2009全国卷Ⅰ理)函数的定义域为R,若与都是奇函数,则()
(A)是偶函数(B)是奇函数
(C)(D)是奇函数
解:∵与都是奇函数,,
函数关于点,及点对称,函数是周期的周期函数.,,即是奇函数。故选D
=f(x)定义域为R,且满足条件f(x+a)=f(x-b),则y=f(x)是以T=a+b为周期的周期函数。
=f(x)定义域为R,且满足条件f(x+a)=-f(x-b),则y=f(x)是以T=2(a+b)为周期的周期函数。
=f(x)的图像关于直线x=a