高数量的方程式.ppt

微分方程
第十二章
—积分问题
—微分方程问题
推广
微分方程的基本概念
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第一节
微分方程的基本概念
引例
几何问题
物理问题
第十二章
引例1.
一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
①
(C为任意常数)
由②得 C = 1,
因此所求曲线方程为
②
由①得
切线斜率为 2x , 求该曲线的方程.
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引例2. 列车在平直路上以
的速度行驶, 制动时
获得加速度
求制动后列车的运动规律.
解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米,
已知
由前一式两次积分, 可得
利用后两式可得
因此所求运动规律为
说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才
能停住,
以及制动后行驶了多少路程.
即求 s = s (t) .
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常微分方程
偏微分方程
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
(本章内容)
( n 阶显式微分方程)
微分方程的基本概念
一般地, n 阶常微分方程的形式是
的阶.
分类
或
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引例2
—使方程成为恒等式的函数.
通解
—解中所含独立的任意常数的个数与方程
—确定通解中任意常数的条件.
n 阶方程的初始条件(或初值条件):
的阶数相同.
特解
引例1
通解:
特解:
微分方程的解
—不含任意常数的解,
定解条件
其图形称为积分曲线.
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一般地
一阶微分方程的初始条件为:
二阶微分方程的初始条件为:
(2)由初始条件确定了通解中任意常数后所得到的解,称为微
分方程的特解。
如 y = x2 + 2是方程(1)的特解.
中含有一个任意常数C,而所给方程又是一阶微分方程,
是所给方程的通解.
中含有两个任意常数,而所给方程又是二阶的,