均值不等式含答案.pdf

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时间:45分钟满分:100分
课堂训练
53
.已知+=,,则的最小值是
1xy1(x>0y>0)xy()


【答案】C
5315
【解析】+=1≥2,
∵xyxy
∴xy≥60,
当且仅当3x=5y时取等号.
4
.函数=++在-∞,-上
2f(x)xx3(2]()
,有最小值7
,有最小值-1
,有最小值-1
-1,无最小值
【答案】D
4
【解析】≤+3
∵x-2,∴f(x)=x+x
44
=--x+-+3≤-2-x-+3
xx
4
=-1,当且仅当-x=-,即x=-2时,取等号,
x
∴f(x)有最大值-1,无最小值.
14
.已知两个正实数,满足+=,则使不等式+≥恒
3xyxy4xym
成立的实数m的取值范围是____________.
9
【答案】-∞,
4
14x+y145yx519
【解析】+=+=++≥+2=.
xyxy44xy444
4
x2+7x+10
=(x>-1)的最小值.
x+1
【分析】对于本题中的函数,可把x+1看成一个整体,然后
将函数用x+1来表示,这样转化一下表达形式,可以暴露其内在的
形式特点,从而能用均值定理来处理.
【解析】因为x>-1,
所以x+1>0.
x2+7x+10x+12+5x+1+4
所以y==
x+1x+1
44
=(x+1)++5≥2x+1·+5=9
x+1x+1
4
当且仅当x+1=,即x=1时,等号成立.
x+1
x2+7x+10
∴当x=1时,函数y=(x>-1),取得最小值为9.
x+1
ax2+bx+c
【规律方法】形如f(x)=(m≠0,a≠0)或者g(x)=
mx+n
mx+n
(m≠0,a≠0)的函数,可以把mx+n看成一个整体,设
ax2+bx+c
mx+n=t,那么f(x)与g(x)都可以转化为关于t的函数.
课后作业
一、选择题(每小题5分,共40分)
1
.设,则=--的最大值是
1x>0y33xx()
-32
-23D.-1
【答案】C
111
【解析】=3-(3x+≤
y=3-3x-xx)3-23x·x
=3-23.
13
当且仅当3x=,即x=时取“=”.
x3
()
1
.当且≠时,+≥
Ax>0x1lgxlgx2
1
>0时,x+≥2
x
1
.当≥时,+的最小值为
Cx2xx2
1
.当≤时,-无最大值
D0<x2xx
【答案】B
【解析】A中,当x>0且x≠1时,lgx的正负不确定,∴lgx+
1115
≥2或lgx+≤-2;C中,当x≥2时,(x+)=;D中当0<x≤2
lgxlgxxmin2
113
时,y=x-在(0,2]上递增,(x-)=.
xxmax2
1
.如果,满足,+=,则,,2+2中值最
3ab0<a<bab12a,2abab
大的是()
1
.

+b2
【答案】D
1
【解析】,
方法一:∵0<a<b,∴1=a+b>2a,∴a<2
又a2+b2≥2ab,
∴最大数一定不是a和2ab,
又a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab,
1
∵1=a+b>2ab,∴ab<,
4
111
∴1-2ab>1-=,即a+b
2222>2.
1245
方法二:特值检验法:取a=,b=,则2ab=,a+b=,
339229
5141
∵,∴a+b最大.
9>2>9>322
>b>c>0,则下列不等式成立的是()
112
A.+>
a-bb-ca-c
112
B.+<
a-bb-ca-c
112
C.+≥
a-bb-ca-c
112
D.+≤
a-bb-ca-c
【答案】A
【解析】∵a>b>c>0,
∴a-b>0,b-c>0,a-c>0,
11
∴(a-c)+
abbc
--
11
=[(a-b)+(b-c)]·+
abbc
--
b-ca-b
=2++
a-bb-c
b-ca-b
≥2+2·=4.
a-bb-c
1142
∴+≥>.
a-bb-ca-ca-c
,最小值为4的是()
4x2+5
(x)=x+(x)=2×
xx2+4
(x)=3x+4×3-(x)=lgx+log10
x
【答案】C
【解析】A、D选项中,不能保证两数为正,排除;B选项不
x2+5x2+4+1
能取等号,f(x)=2×=2×=2×(x2+4+
x2+4x2+4
11
)≥4,要取等号,必须x2+4=,即x2+4=1,这是
x2+4x2+4
不可能的,.
,两臂长不等,
称物体的重量,只需将物体放在左、右托盘各称一次,则两次称量结

分别为a,b(a≠b),则物体的实际重量为多少?实际重量比两次称量
的结果的一半大了还是小了?()
a+ba+b
;大;小

;;小
【答案】D
【解析】ml,
设物体真实重量为,天平左、右两臂长分别为1
l,则
2
ml=al①
12
ml=bl②
21
①×②得m2ll=abll
1212
∴m=ab
a+ba+b
又∵≥≠
2ab且ab,∴等号不能取得,故m<2.
>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是()

911

【答案】B
8-x
【解析】∵x+2y+2xy=8,∴y=>0,
2x+2
∴-1<x<8,
8-x99
∴x+2y=x+2·=(x+1)+-2≥2x+1·-2=
2x+2x+1x+1
9
4,当且仅当x+1=时“=”成立,此时x=2,y=1,故选B.
x+1
1x2+x+1
.在区间,上,函数=2++、∈与=
8[22]f(x)xbxc(bcR)g(x)x
1
在同一点取得相同的最小值,那么在区间,上的最大值是
f(x)[22]
()
13
.

5
.

【答案】B
x2+x+11
【解析】=x++1≥3,当x=1时取等号,
∵g(x)=xx
即当x=1时取最小值3,∴f(x)的对称轴是x=1,∴b=-2,将(1,3)
1
代入即得c=4,∴f(x)=x-2x+4,易得在[,2]上的最大值是4.
22
二、填空题(每小题10分,共20分)
x2+2
:________2(填“>”“<”“≥”或“≤”).
x2+1
【答案】≥
x2+21
【解析】=x2+1+≥2.
x2+1x2+1
1
>1时,不等式x+≥a恒成立,则实数a的取值范
x-1
围是________.
【答案】(-∞,3]
1
【解析】∵x>1,∴x+>0,
x-1
11
要使x+≥a恒成立,设f(x)=x+(x>1),则a≤f(x)对
x-1x-1min
x>1恒成立.
111
又f(x)=x+=x-1++1≥2x-1×+1=3,当
x-1x-1x-1
1
且仅当x-1=即x=2时取“=”.
x-1
∴a≤3.
三、解答题(每小题20分,
明、证明过程或演算步骤)
,y∈R+,且x+y+xy=2,
(1)求x+y的取值范围;
(2)求xy的取值范围.
x+y
【解析】≤2,
(1)2=x+y+xyx+y+(2)
当且仅当x=y时取“=”.
∴(x+y)2+4(x+y)-8≥0.
∴[(x+y)+2]2≥12.
∵x+y>0,∴x+y+2≥12.
∴x+y≥23-2,当且仅当x=y=3-1时取“=”.
故x+y的取值范围是[23-2,+∞).
(2)2=x+y+xy≥2xy+xy,当且仅当x=y=3-1时取“=”.
∴(xy)2+2xy≤2.∴(xy+1)2≤3.
又x、y>0,∴xy+1>0.∴xy+1≤3.
∴0<xy≤3-1.
∴0<xy≤4-23,即xy的取值范围是(0,4-23].
,每一

.
(1)问捕捞几年后总盈利最大,最大是多少?
(2)问捕捞几年后的平均利润最大,最大是多少?
【解析】(1)
nn-1
××
y=50n-98-[12n+24]
=-2n2+40n-98
=-2(n-10)2+102
∴捕捞10年后总盈利最大,最大是102万元.
y49
(2)年平均利润为=-2n+-20
nn
49
≤-22n·-20=12
n
49
当且仅当n=,即n=7时上式取等号.
n
所以,捕捞7年后的平均利润最大,最大是12万元.
【规律方法】在应用均值不等式解决实际问题时,应注意如下
思路和方法:
(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数;
(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最
小值问题;
(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;
(4)正确写出答案.