师大附中高二期中考试数学试.pdf

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师大附中—度高二〔下〕期中考试数学〔文〕试题
〔总分值:150分,时间:120分钟〕
说明:试卷分第1卷和第2卷,请将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷。
第1卷共100分
一、选择题:〔每题5分,共50分;在给出的A、B、C、D四个选项中,只有一项符合
题目要求〕
1、以下三句话按“三段论〞模式排列顺序正确的选项是〔***〕
①y=sinx〔x∈R〕是三角函数;②三角函数是周期函数;
③y=sinx〔x∈R〕是周期函数.
A、①②③B、②①③C、②③①D、③②①
2、函数f(x)x33x21的单调递减区间为(***)
A、(2,)B、(,2)C、(,0)D、(0,2)开始
3、a=0是复数z=a+bi〔a,b∈R〕为纯虚数的〔***〕n1,S0
A、必要但不充分条件B、充分但不必要条件
C、充要条件D、既不充分也不必要条件
4、右面的程序框图输出S的值为〔***〕n3?否
. .

输出S
5SS2n
5、复数的共轭复数是〔***〕
34i
结束
3434
A、34iB、iC、34iD、i
5555nn1
6、在复平面内,复数13i(3i)2对应的点位于〔***〕
A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限
7、假设根据10名儿童的年龄x〔岁〕和体重y〔㎏〕数据用最小二乘法得到用年龄预报
体重的回归方程是y=2x+7,这10名儿童的年龄分别是2、3、3、5、2、6、7、3、
4、5,那么这10名儿童的平均体重是〔***〕
A、17㎏B、16㎏C、15㎏D、14㎏
8、下面给出了关于复数的四种类比推理:
①复数的加减法运算,可以类比多项式的加减法运算法那么;
222
②由向量a的性质|a|a,可以类比得到复数z的性质|z|z;
③方程ax2bxc0〔a、b、c∈R〕有两个不同实根的条件是b24ac0,
类比可以得到方程az2bzc0〔a、b、c∈C〕有两个不同复数根的条件是
b24ac0;
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④由向量加法的几何意义,可以类比得到复数加法的几何意义.
其中类比得到的结论正确的选项是〔***〕
A、①③B、②④C、②③D、①④
9、以下不等式对任意的x(0,)恒成立的是〔***〕
A、xx20B、exexC、lnxxD、sinxx1
10、假设函数f(x)2x2lnx在其定义域的一个子区间(k1,k1)内不是单调函数,
那么实数k的取值范围是〔 ***〕
31133
  C.k k
22222
二、填空题〔每题5分,共15分〕
11、定义某种运算,Sab的运算原理如右图;
那么式子5324_*****_.

12、函数yx2cosx,x[0,]的最大值是_******_.
2
13、如图,第n个图形是由正n+2边形“扩展〞而来,(n=1、2、3、…)
那么在第n个图形中共_******_有个顶点.(用n表示)
三、解答题:〔本大题共3题;总分值35分〕
13、在复平面上,平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C对应的复数分别为
i,1,4.
14、为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了
500位老年人,结果如下:
性别男女
是否需要
需要4030
不需要160270
(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例;
(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关?
(3)根据〔2〕的结论,能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中,需要志愿帮助的老
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年人的比例?:
P(K2k)
n(adbc)2
K2
(ab)(cd)(ac)(bd)k
、数列,其中是首项为,公差为的等差数列;
15a1,a2,a3,,a30a1,a2,a3,,a1011
是公差为的等差数列;是公差为2的等差
a10,a11,a12,,a20da20,a21,a22,,a30d
数列〔d0〕.
〔1〕假设a2040,求d;
〔2〕试写出a30关于d的关系式;
〔〕续写数列,使得是公差为3的等差数列,,依次类
3a30,a31,a32,,a40d……
推,〔2〕类似的问题,并进行研究,你能得到什么样的
结论?
第2卷共50分
一、填空题〔每题4分,共8分〕
16、函数yxex+1在点(0,1)处的切线方程为*****
17、设复数zcossini,0,那么z1的最大值为*****.
二、选择题:〔每题4分,共8分;只有一项符合题目要求〕
18、某种金属材料在耐高温实验中,温度随时间变化的情况由微机记录后显示的图像如下
:〔***〕
①前5分钟温度增加的速度越来越快;y
②前5分钟温度增加的速度越来越慢;
③5分钟以后温度保持匀速增加;④5分钟以后温度保持不变.
O5t
A、①④B、②④C、②③D、①③
19、给出函数f(x)的一条性质:“存在常数M,使得f(x)Mx对于定义域中的一切实
数x均成立〞,那么以下函数中具有这条性质的函数是〔***〕
1
A、yB、yx2C、yx1D、yxsinx
x
三、解答题:〔本大题共3题;总分值34分〕
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20、函数f(x)x32x2bx5
〔Ⅰ〕假设函数f(x)在x2处有极值,求实数b的值;
〔Ⅱ〕假设函数yf(x)在区间[-2,1]上单调递增,求实数b的取值范围.
,地面面积为24m2、高为1m,旧墙需维修,其
它三面建新墙,由于地理位置的限制,篱笆正面的长度x米,不得超过a米(a1),正面有
一扇1米m2,新墙的造价为450元/m2.
〔Ⅰ〕把篱笆总造价y元表示成x米的函数,并写出该函数的定义域;
〔Ⅱ〕当x为多少时,总造价最低?最低总造价是多少?
1m
x
22、曲线f(x)x33ax(aR),直线yxm,mR
4
〔Ⅰ〕当a时,且曲线f(x)与直线有三个交点,求m的取值范围
3
〔Ⅱ〕假设对任意的实数m,直线与曲线都不相切,
〔ⅰ〕试求a的取值范围;
〔ⅱ〕当x[1,1]时,曲线f(x)的图象上是否存在一点P,使得点P到x轴的距离
1
.
4
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参考答案
第1卷
一、选择题
题号**********
答案BDACDACDBD

二、填空题:.313.(n2)(n3)
6
三、解答题:
〔x,y〕,依题意得:
A〔0,1〕、B〔1,0〕、C〔4,2〕ABCD以AC、BD为对角线

那么有ABDC∴〔1,-1〕=〔4–x,2–y〕
4x1x3
故
2y1y3
∴D〔3,3〕,对角线AC421217,BD223213
:〔1〕调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人
70
中,需要帮助的老年人的比例的估算值为14%
500
500(4027030160)2
〔2〕K2。
20030070430
>,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。
(3)由(2)的结论知,该地区老年人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据能看出该
地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地
区老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随
机抽样方法更好.
、解:首项为,公差为
15a1,a2,a3,,a1011
首项为,公差为
∴a1019110a10,a11,a12,,a20a10d
∴a20a1010d10(1d)
〔1〕∵a2040∴10(1d)40∴d3
〔〕首项为,公差为222
2a20,a21,a22,,a30a20d∴a30a2010d10(1dd)
〔〕首项为,公差为3
3a30,a31,a32,,a40a30d
323
∴a40a3010d10(1ddd)
依此类推可得:2n1,*
a10n10(1ddd)nN
当时,2n1
∵d0∴d1a10n10(1ddd)10n
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1dn10(1dn)
当d1时,a10(1dd2dn1)10
10n1d1d
10n(d1)

综上得结论:n
a10n10(1d)
(d1且d0)
1d
第2卷
16、xy1017、218、B19、D
2
20、〔1〕解:f'(x)3x4xb又f(x)在x2处有极值
f'(2)0即128b0,b4经检验:b4满足题意
〔2〕函数f(x)在区间[-2,1]上单调递增,
对任意x[2,1],f'(x)3x24xb0恒成立
24
b3x24x恒成立,令g(x)3x24x3(x)2
33
2224
g(x)在[2,]上递增,在[,1]上递减bg()
333max3
24
21、解:依题意得:y(x1)1450x115021450(1xa)
x
36
y600(x)450,(1xa)
x
3636
①当a6时,y600(x)450600x4503150
xx
36
当且仅当x即x6时取等号,此时总造价最低为3150元
x
36(x236)
②当1a6时,y'600(1)6000,x6,x6
x2x212
1xa,且1a6函数在(1,a)上为减函数
36
当xa时,y600(a)450
mina
36
答:当a6时,总造价最低为3150元;xa时,总造价最低600(a)450元
a
4
22、〔Ⅰ〕解:当a时,f(x)x34x
3
3
曲线f(x)与直线有三个交点x4xxm有三个不同的根
x33xm有三个不同的根,令g(x)x33x,g'(x)3x233(x1)(x1)
g(x)在〔-1,1〕上递减,(1,),(,1)上递增
g(1)极大值2,g(1)极小值2当2m2时,曲线f(x)与直线有三个交点
〔Ⅱ〕解:〔I〕f(x)3x23a[3a,),
∵对任意mR,直线xym0都不与yf(x)相切,
1
∴1[3a,),13a,实数a的取值范围是a;
3
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1
〔Ⅱ〕存在,证明方法1:问题等价于当x[1,1]时,|f(x)|,
max4
设g(x)|f(x)|,那么g(x)在x[1,1]上是偶函数,
1
故只要证明当x[0,1]时,|f(x)|,
max4
①当a0时,f(x)0,f(x)在[0,1]上单调递增,且f(0)0,g(x)f(x)
1
g(x)f(1)13a1;
max4
1
②当0a时,f(x)3x23a3(xa)(xa),列表:
3
x(,a)a(a,a)a(a,)
f(x)+0-0+
极大极小
f(x)
2aa2aa
f(x)在(0,a)上递减,在(a,1)上递增,
注意到f(0)f(3a)0,且a3a1,
∴x(0,3a)时,g(x)f(x),x(3a,1)时,g(x)f(x),
∴g(x)maxmax{f(1),f(a)},
111
由f(1)13a及0a,解得0a,此时f(a)f(1)成立.
434
1
∴g(x)f(1)13a.
max4
1111
由f(a)2aa及0a,解得a,此时f(a)f(1)成立.
4343
1
∴g(x)f(a)2aa.
max4
1
∴在x[1,1]上至少存在一个x,使得|f(x)|成立.
004
〔II〕存在,证明方法2:反证法
11
假设在x[1,1]上不存在x,使得|f(x)|成立,即x[1,1],|f(x)|,
00404
设g(x)|f(x)|,那么g(x)在x[1,1]上是偶函数,
1
∴x[0,1]时,|f(x)|,
max4
①当a0时,f(x)0,f(x)在[0,1]上单调递增,且f(0)0,g(x)f(x)
11
g(x)f(1)13a,a与a0矛盾;
max44
1
②当0a时,f(x)3x23a3(xa)(xa),列表:
3
x(,a)a(a,a)a(a,)
f(x)+0-0+
极大极小
f(x)
2aa2aa
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f(x)在(0,a)上递减,在(a,1)上递增,
注意到f(0)f(3a)0,且a3a1,
∴x(0,3a)时,g(x)f(x),x(3a,1)时,g(x)f(x),
∴g(x)maxmax{f(1),f(a)},
1
注意到0a,由:
3
11
f(a)f(1)13a0af(a)f(1)13aa
44
,矛盾;,矛盾;
1111
f(1)13aaf(a)2aaa
4444
11
∴x[1,1],|f(x)|与a矛盾,
043
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