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第六章矩阵函数
矩阵函数是矩阵理论的重要内容,它在力学、控制理论、——以方阵为“变量”、其“值”,矩阵多项式是研究其他矩阵函数的基础,.
矩阵函数在线性微分方程组及矩阵方程的求解中都有重要的应用,而这些问题的求解是系统与控制理论中经常面临并且必须解决的实际问题.
§ 矩阵级数
定义1 设是的矩阵序列,其中,无穷和
称为矩阵级数,,记,称为矩阵级数的部分和,如果矩阵序列收敛,且有极限,即,则称矩阵级数收敛,并称为矩阵级数的和,.
由此定义可知,矩阵级数收敛的充分必要条件是个数项级数都收敛.
由矩阵级数的收敛性定义易知
(1)若矩阵级数收敛,则
(2)若矩阵级数, ,,则
;
(3)设,,若矩阵级数收敛,则收敛且
.
定义2 设是矩阵级数,其中,如果个数项级数都绝对收敛,则称矩阵级数绝对收敛.
显然,若绝对收敛,则它必是收敛的,但反之未必.
定理1 矩阵级数(其中)绝对收敛的充分必要条件是对任何一种矩阵范数,数项级数都收敛.
证由各种矩阵范数的等价性,只须就某一种矩阵范数证明之,如考虑
.
必要性绝对收敛,则绝对收敛,该数项级数各项绝对值之和上方有界
.今对的所有个数项级数取共同上界,使对一切自然数及任意的有
.
于是,对一切自然数,有
,
故此正项级数收敛.
充分性若收敛,则对一切有
根据正项级数的比较判别法知收敛(),.
对矩阵级数也有幂级数的概念.
定义3 设,形如
的矩阵级数称为矩阵幂级数.
由定理1即得如下定理.
定理2 设,如果数项级数收敛,则矩阵幂级数
绝对收敛,其中是上的某种相容矩阵范数.
推论1 设,如果上的某种相容矩阵范数使得在幂级数
的收敛圆内,则矩阵幂级数绝对收敛.
定理3 设,,则矩阵幂级数绝对收敛;如果,则矩阵幂级数发散.
证设矩阵的Jordan标准形为,即存在可逆矩阵使得
成立,其中
.
则
,
因此,而
,

,
其中
这里,则当时,幂级数绝对收敛,因此矩阵幂级数绝对收敛;当时,则有某个特征值,幂级数发散,故矩阵幂级数发散.
推论2 如果幂级数在整个平面上都收敛,则对任意,矩阵幂级数收敛.
§ 矩阵函数的定义及性质
受高等数学或复变函数的启发,我们可以利用矩阵幂级数来定义矩阵函数.
定义4(矩阵函数的幂级数表示) 设,一元函数能够展开为的幂级数
,
,则将收敛矩阵幂级数的和定义为矩阵函数,记为,即.
因为当时,有
;
;
;
则由推论2知,对任意,矩阵幂级数
;
;
,,.通常称为矩阵指数函数,和为矩阵三角函数,对方阵的这三种函数,容易验证下列性质.
对任意,,有
(1);
(2);
(3)当时,;
(4);
(5);
(6).
利用定理3和推论2定义矩阵函数,其实质就是先将函数展开成的收敛幂级数,再将代以矩阵来定义矩阵函数,但这个条件比较强,.
对矩阵,假定存在阶可逆矩阵使得
, (1)
其中是前面定义的Jordan块,则对任意多项式,有
, (2)
.(2)式表明,与的Jordan标准形结构以及在的特征值处的函数值与各阶导数值有关.
定义5 设矩阵的最小多项式为,
即说之所有不同特征根为,它们作为最小多项式的根,.
定义6 对任意函数,如果

都存在,则称在的谱上有定义,并称
()为在的谱上的值.
定义7 如果两个多项式,在的谱上有相同的值,即
=,=
则说与在的谱上一致.
例1 设的最小多项式为,则多项式
与
在的谱上一致.[]
定理4 对于方阵及多项式,,的充分必要条件是与在的谱上一致.
证设之最小多项式为,
记.
必要性即,则是的化零多项式,于是
,即有多项式使
.
由于中至少含有的次方幂,对逐次求导必有
, (3)
即(4)
可见与在的谱上一致.
充分性若与在的谱上一致,则(4)
,
前项为0,,从而必是的因式,即有多项式使,又,因而,.
现在利用多项式给出矩阵函数的另一种定义.
定义8 设矩阵的最小多项式为
,