高考编（5）导数.pdf

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-广东高考试题分类汇编〔5〕导数
一、选择题:
1.〔高考〕设aR,假设函数yexax,xR,有大于零的极值点,那么〔〕
11
D.1aa
ee
【答案】A.
xx
【解析】题意即ea0有大于0的实根,数形结合令y1e,y2a,那么两曲线交点在第一象限,
结合图像易得a1a1,选A.
2.〔高考〕函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是
A.,2B.〔0,3〕C.〔1,4〕D.2,
【答案】D
xxx
【解析】,f令(,x解得)(,x应选3)De(x3)e(x2)ef(x)0x2
二、填空题:
1.〔高考〕函数f(x)xlnx(x0)的单调递增区间是.
1
【答案】[,)
e
2.〔高考〕曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为.
【答案】2xy10
【解析】y3x21,当x1时,y2,此时k2,
故切线方程为y32(x1),即2xy10.
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高考编(5)导数
三、解答题:
1.〔高考〕某用2160万元购得一块空地,方案在该地块上建造一栋至少10层、
测算,如果将楼房建为x(x10)层,那么每平方米的平均建筑费用为56048x〔:元〕.为了使楼房每
平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?
〔注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用〕
建筑总面积
【解析】设楼房每平方米的平均综合费f(x)元,那么
21601000010800
fx56048x56048xx10,xZ
2000xx
10800
fx48,令,得fx0x15
x2
当x15时,f(x)0;当时,0x15;f(x)0
因此当x15时,f(x)取最小值f152000.
答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为15层.
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高考编(5)导数
2.〔高考〕.二次函数yg(x)的导函数的图像与直线y2x平行,且yg(x)在x1处取得极小
g(x)
值m1(m0).设函数f(x).
x
〔1〕假设曲线yf(x)上的点p到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m的值;
〔2〕k(kR)如何取值时,函数yf(x)kx存在零点,并求出零点.
【解析】〔1〕设gxax2bxc,那么gx2axb;
又gx的图像与直线y2x平行,2a2,a1
b
又gx在x1取极小值,,1b2
2
,g;1abc12cm1cm
gxm
,设
fxx2Pxo,yo
xx
2
2
22mm
那么2222
PQx0y02x0x02x02222m2
x0x0
2
22m224;mw.
2
m
〔2〕由yfxkx1kx20,得1kx22xm0*
x
mm
当k1时,方程*有一解x,函数yfxkx有一零点x;
22
1
当k1时,方程*有二解44m1k0,假设m0,k1,
m
244m1k11m1k
函数yfxkx有两个零点x;假设m0,
21kk1
1244m1k11m1k
,函数k1y有两个零点fxkxx;
m21kk1
1
当k1时,方程*有一解,44m,1k0k1
m
1
函数yfxkx有一零点xw.
k1
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高考编(5)导数
3.〔高考〕.设,a讨论函数(x)lnxa(1a)x22(1a)x
12a(1a)x22(1a)x1
【解析】,f(x)2a(1a)x2(1a)
xx
1
当a1时,,∴f(x)在0f上为增函数.(x)(0,)
x
当a1时,令,g(x)2a,(1a)x22(1a)x1(x0)
1
,4(1a)28a(1a)12(a1)(a)
3
1
当a1时,,∴g(x),∴0在f(x)(x)(0,)
3
1(1a)(1a)(13a)(1a)(1a)(13a)
当0a时,令,解得g(x)0x或x
312a(1a)22a(1a)
,
2
∵(1a)(1a)(13a)2a(1a)0,∴,且x10x,1x2
∴时,x(0,x1),f(时,x)0x,(x1,时,x2)f(x),0x(x2,)f(x)0
∴f(x)在(0,x1)和上为增函数,在(x2,)(x1,x2)
1
当a1时,,∴g(x),∴0在f(x)(x)(0,)
3
(1a)(1a)(13a)(1a)(1a)(13a)
当a1时,令,解得g(x)0x或x,
12a(1a)22a(1a)
∵(1a)(13a)(a1)2(1a)(13a)2a(a1)0,
∴,∴(1a,且)(1a),(13a)0x20x10
∴当a1时,x(0,x1)时,g,∴(x)0f,(x)0x时,(x1,,∴)g(x),0f(x)0
∴f(x)在(0,x1)上为减函数,(x1,)
1
综上:当0a时,f(x)在(0,x)和上为增函数,在(x,)(x,x)
31212
1
当a1时,,∴f(x)0在f(x)上为增函数.(0,)
3
当a1时,f(x)在(0,x1)上为减函数,(x1,)
(1a)(1a)(13a)(1a)(1a)(13a)
其中x,x.
12a(1a)22a(1a)
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高考编(5)导数
2
4.〔高考〕设0a1,集合AxRx0,B{xR2x3(1a)x6a0},DAB.
〔1〕求集合D〔用区间表示〕;
〔2〕求函数f(x)2x33(1a)x26ax在D内的极值点.
【解析】〔1〕方程2x23(1a)x6a0,
∵9(1a)248a9a230a9
3(3a210a3)3(3a1)(a3),
1
∴当0a时,0,∴2x23(1a)x6a0有两个根
3
3(1a)9a230a93(1a)9a230a9
,x,x
1424
3(1a)9a230a93(1a)9a230a9
∴B(,)(,)
44
3(1a)9a230a93(1a)9a230a9
∴DAB(0,)(,),
44
1
∴当a1时,0,∴2x23(1a)x6a0恒成立,
3
∴,∴B(.,)DAB(0,)
13(1a)9a230a93(1a)9a230a9
∴当0a时,D(0,)(,);
344
1
当a1时,D(0,).
3
〔2〕f(x)6x26(1a)x6a6(xa)(x1),
令f(x)0,得xa或x1,
1
①当0a时,由〔1〕知D(0,x)(x,)
312
∵g(a)2a23(1a)a6aa(3a)0,
g(1)23(1a)6a3a10
∴0ax11x2,
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高考编(5)导数
∴f(x),f(x)随x的变化情况如下表:
x(0,a)a(a,x1)(x2,)
f(x)0
f(x)↗极大值↘↗
∴f(x)的极大值点为xa,没有极小值点;
1
②当a1时,由〔1〕知D(0,)
3
∴f(x),f(x)随x的变化情况如下表:
x(0,a)a(a,1)1(1,)
f(x)00
f(x)↗极大值↘极小值↗
∴f(x)的极大值点为xa,极小值点为x1;
1
综上所述,当0a时,f(x)有一个极大值点xa,没有极小值点;
3
1
当a1时,f(x)有一个极大值点xa,一个极小值点x1.
3
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