8-圆锥曲线解答题2.doc

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08圆锥曲线
三、解答题(第二部分)
26、(福建省泉州一中高2008届第一次模拟检测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A,B两点,N为弦AB的中点。
(1)求直线ON(O为坐标原点)的斜率KON ;
(2)对于椭圆C上任意一点M ,试证:总存在角(∈R)使等式:=cos+sin成立。
解:(1)设椭圆的焦距为2c,因为,所以有,故有。从而椭圆C的方程可化为: ①………2分
易知右焦点F的坐标为(),
据题意有AB所在的直线方程为: ②………3分
由①,②有: ③
设,弦AB的中点,由③及韦达定理有:

所以,即为所求。………5分
(2)显然与可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量,有且只有一对实数,使得等式成立。设,由1)中各点的坐标有:
,所以
。………7分
又点在椭圆C上,所以有整理为。④
由③有:。所以
⑤
又A﹑B在椭圆上,故有⑥
将⑤,⑥代入④可得:。………11分
对于椭圆上的每一个点,总存在一对实数,使等式成立,而
在直角坐标系中,取点P(),设以x轴正半轴为始边,以射线OP为终边的角为,显然。
也就是:对于椭圆C上任意一点M ,总存在角(∈R)使等式:=cos+sin成立。
27、(福建省厦门市2008学年高三质量检查)已知曲线C上任意一点M到点F(0,1)的距离比它到直线的距离小1。
(1)求曲线C的方程;
(2)过点
①当的方程;
②当△AOB的面积为时(O为坐标原点),求的值。
(1)解法一:设, …………1分
即
当; …………3分
当 …………4分
化简得不合
故点M的轨迹C的方程是 …………5分
(1)解法二:的距离小于1,
∴点M在直线l的上方,
点M到F(1,0)的距离与它到直线的距离相等 …………3分
所以曲线C的方程为 …………5分
(2)当直线m的斜率不存在时,它与曲线C只有一个交点,不合题意,
设直线m的方程为,
代入(☆) …………6分
与曲线C恒有两个不同的交点
设交点A,B的坐标分别为,
则 …………7分
①由,
…………9分
②
点O到直线m的距离,
…………10分
,
(舍去)
…………12分
当方程(☆)的解为
若
若 …………13分
当方程(☆)的解为
若
若 …………14分
所以,
28、(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)已知方向向量为的直线过椭圆C:=1(a>b>0)的焦点以及点(0,),椭圆C的中心关于直线的对称点在椭圆C的右准线上。
⑴求椭圆C的方程。
⑵过点E(-2,0)的直线交椭圆C于点M、N,且满足,(O为坐标原点),求直线的方程。
解:⑴直线①,过原点垂直于的直线方程为②
解①②得,∵椭圆中心O(0,0)关于直线的对称点在椭圆C的右准线上,
∴, …………………(2分)
∵直线过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0),∴,
故椭圆C的方程为③…………………(4分)
⑵当直线的斜率存在时,设,代入③并整理得
,设,
则……………(5分)
∴,……(7
分)
点到直线的距离.
∵,即,
又由得,
∴,…………………………(9分)
而,∴,即,
解得,此时…………………………………(11分)
当直线的斜率不存在时,,也有,
经检验,上述直线均满足,
故直线的方程为
29、(福建省漳州一中2008年上期期末考试)已知,点满足,记点的轨迹为.
(Ⅰ)求轨迹的方程;
(Ⅱ)若直线过点且与轨迹交于、两点.
(i)设点,问:是否存在实数,使得直线绕点无论怎样转动,都有成立?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.
(ii)过、作直线的垂线、,垂足分别为、,记,求的取值范围.
解:(Ⅰ)由知,点的轨迹是以、为焦点的双曲线右支,由,∴,故轨迹E的方程为…(3分)
(Ⅱ)当直线l的斜率存在时,设直线l方程为,与双曲线方程联立消得,设、,
∴, 解得………………………………………(5分)
(i)∵

……………………(7分)
假设存在实数,使得,
故得对任意的恒成立,
∴,解得
∴当时,.
当直线l的斜率不存在时,由及知结论也成立,
综上,存在,使得. …………………………………………(8分)
(ii)∵,∴直线是双曲线的右准线,…………………………(9分)
由双曲线定义得:,,
方法一:∴
…………………………………………(10分)
∵,∴,∴………………………………………(11
分)
注意到直线的