拓扑学第五章 连通性.doc

第五章连通性
X
X
(0,1)
B
A
(0,-1)
(1,0)
普通几何中的图形“连通”性是一个非常直观的概念,似乎无需给出数学的定义。然而,对于一些复杂的图形,单凭直观是不行的,例如:
例: 设的一个子集(曲线)有两部分构成,其中


如右图,细线为,粗线为,我们很难判断它们是否连通的。
▲有两种描述图形连通的方法:
1)、利用集合是否相交来判定;
2)、利用任何亮点是否有图形内的线段相连。
前者称为“连通性”,后者称为“道路连通性”。
在上例中,是连通的,但是,不是道路连通的。
§5-1 连通空间
先看一个例子:
考虑上的两个子集与。它们是不交的,(即交为空集)。但是,它们的并为却构成了一个“整体”;
而与也是不相交的,但它们的并仍是两个部分。
原因是:的一个聚点1,属于,而不属于。
为此,给出一个“分离”的概念。
定义1 设和是拓扑空间的两个非空子集,如果与,则称与是分离的。
定义2 称拓扑空间是连通的,如果不能表示为两个非空分离集合的并。
●显然,连通与下面几种说法是等价的。
①不能分解为两个非空不相交开集的并;
②不能分解为两个非空不相交闭集的并;
③没有既开又闭的非空真子集;
④中只有和是既开又闭的。
上述的四种说法与连通是等价的,可以作为****题,有同学们自己去证明。
例1 (1)是连通的,因为它的任意两个非空开集一定相交。
(2)双曲线不连通,它的两支是互不相交的的非空闭集。
(3)空间是连通的。
结论(3)是明显的。但是,人们常常里利用已知连通空间论证其它空间的连通性,所以,常常被作为论证一维流形连通的出发点。因此,有必要去证明一下。
证明的思路:中任何非空真子集不可能既是闭的又是开的,则是连通的。
以下是证明:
不妨设是的非空真闭集,于是只要证明不会是开集。
设的下确界为,上确界为。因为是闭集,则有。
又设,不妨假定(对于情形可作类似的讨论),由于,即不是的内点,从而不是开集。证毕。
下面讨论连通空间的性质。
定理1 连通空间在连续映射下的象也是连通的。
证明: 设连通,连续,我们要证明也连通。
不妨设(否则也可以考虑)。又设是的既开又闭的非空子集,则是的既开又闭的子集(这是根据连续映射的性质)。
又由于非空,并且是连通的,故只要(不可能为),因为映射是满射,从而,这说明的既开又闭的非空子集只能有。于是,是连通的。
例2 单位圆是连通的。
因为是连通的,且有映射,有。
例3 设,则连通是区间。
例3可作为定理1的推论。
推论1 连通空间上的连续函数取到一切中间值(即,象集是区间)。
事实上,这个推论适于上的映射,而对于其他的拓扑空间,应该有“序”的概念。所以只作理解即可。
即,设连通,,根据例3。推论立证。
引理1 若是的既开又闭子集,是的连通子集,则或者,或者。
证明:显然。由于是连通的,则不可能存在既开又闭的子集,则要么,要么,即。
定理2 若有一个连通的稠密子集,则连通。
证明:思路:证明的既开又闭子集只有和。
设是的连通稠密子集,且是的既开又闭子集。如果,则必有。由引理1,有。
于是,,从而。因此,的既开又闭子集只有和。
推论2 若是的连通子集,且,则连通。
注释:这是因为是的