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数理逻辑初步
秦庆尧(临沂沂水县教育局教研室)
引言:
逻辑学是研究人类正确思维的规律和形式的科学. “逻辑”一词是拉丁文logic的音译,logic一词导源于希腊文logos,有“思维”及“表达思考的言词”之意. 逻辑学分类:
:形式逻辑是由古希腊大哲学家亚里士多德(Aristotle,公元前384—322年)创立的. 主要是对思维的形式和规律进行研究的类似于语法的一门工具性学科,思维的形式包括概念,判断和推理之间的结构和联系,其中概念是思维的基本单位,通过概念对事物是否具有某种属性或关系进行肯定或否定的回答,这就是判断;由一个或几个判断推出另一个判断的思维形式叫做推理. 形式逻辑的主要内容还包括关于正确思维的三个基本规律和演绎推理的基本形式:三段论. 这三个定律是:
(1)同一律:A就是A,而不是非A. 在思维和推理的过程中,一个概念必须保证它的外延的确定性和内涵的同一性,用同一个概念去表达两个不同的对象,或用两个不同的概念去表达同一个对象,都是违犯同一律的,违反同一律的逻辑错误叫做偷换概念. 古希腊诡辩学派就是通过这样的办法与人辩论的.
(2)矛盾律:A不能既是B,又是非B. 第二个说法是:命题p不能既真又假. 第三个说法是:命题p与非p不能同真(但可以同假). 这里的非p与下文的“非p”意义不同,例如,命题p:质数是奇数;非p:质数是偶数. 这两个命题就违反了矛盾律,他们不可能都是真命题,事实上,他们都是假命题.
(3)排中律:A或者是B,或者是非B,二者必居其一. 第二个说法是:命题p非真即假.,二者必居其一.
在十七世纪末,德国哲学家、数学家莱布尼兹又增入了一条:
(4)充足理由律:所以有A,是因为有B.
三段论是演绎推理的形式,由大前提、小前提和结论组成.
亚里士多德在形式逻辑的基础上又提出了用演绎推理来建立各门学科体系的思想. 欧几里德在此基础上创立了公理化方法:尽可能少的选取原始概念和一组不加证明的原始命题即公理,以此为出发点,应用演绎推理,推出各门学科的全部内容. 他的《几何原本》、阿波罗尼斯的《圆锥曲线》、牛顿的《自然哲学的数学原理》、拉普拉斯的《天体力学》、拉格朗日的《分析力学》、拉瓦锡的《化学纲要》等科学名著都是按照公理化方法写成的,所以说,没有形式逻辑,就没有现代数学和现代自然科学.
:辩证逻辑是由19世纪德国哲学家黑格尔创立的. 主要是三个定律:量变与质变规律;对立统一规律;否定之否定规律. 辩证逻辑也叫辩证法,马克思与恩格斯运用黑格尔的辩证法和费尔巴哈的唯物主义创立了辩证唯物主义,影响是巨大的.
:也叫符号逻辑,它既是一个数学的分支,也是一个逻辑的分支. 它是用数学的方法研究形式逻辑的学科,所谓数学方法,是指使用符号、公式、公理化方法和一般的数学知识. 主要内容是命题逻辑和谓词逻辑. 现在,数理逻辑又有了四个主要分支:证明论,公理集合论,递归论和模型论. 中学数学中的逻辑内容主要是命题逻辑和谓词逻辑的一点初步知识. 符号逻辑的创立者主要有:莱布尼兹,布尔,摩尔根,皮尔斯,弗雷格,罗素,皮亚诺,哥德尔等人,这些人主要是数学家或哲学家. 学****数理逻辑的意义:它是数学的基础和学****数学的工具;对培养学生的逻辑思维能力有重要意义;数理逻辑是计算机理论的基础,它是计算机专业和人工智能专业的基础课.
二. 命题、开句与量词:
:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述语句叫命题.
在形式逻辑中,我们把反映事物具有或不具有某种属性或关系的思维形式叫判断,表达判断的陈述语句叫命题.
判断一个句子是否为命题,应该分两步:首先判定它是否为陈述语句,其次看看它能不能判定真假.
下列语句不是命题:
(1)感叹句. 例如,祝你健康!
(2)疑问句. 例如,难道平行四边形的对角线不是互相平分吗?
(3)祈使句. 例如,你快离开这里!
注意:下列陈述句不是命题:纽约离我们沂水很遥远.;方程2x2+3x+1=0可能有实根. 这种语句在模糊逻辑中才是命题. 模糊逻辑是1965年由美国的数学家扎德(Lolri Zadeh 1921年—)创立的,到现在还很不成熟.
“教师是人类灵魂的工程师”,这个语句不是命题,这只是一个比喻,无所谓真假. “人为万物之灵”也不是命题,这只是一个形容,也是无所谓真假的. “张三是东西”也不是命题,因为“东西”的含义不明确,无法对其做出判断. “火星上曾经有水”,这是一个命题,虽然现在还不知道它的真假,但它的真假是客观存在的,随着科学技术的发展,总有一天会知道它的真假的. “我正在说假话”,这不是一个命题,这是一个悖论,所谓悖论,就是由真推出假,又由假推出真的陈述语句,凡是悖论都不是命题.
判断一个