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数学史与数学思想
作为一线的教师已经知道运用数学史的功能进行教学。向学生介绍数学史,可以提高学生的学****兴趣,学****数学名家的数学思想和方法,激励学生的爱国热情和学****积极性。运用数学史消除那些荒诞的想法,诸如数学是静止的、一成不变的、仅仅为男孩设立的一门学科。讲述数学家的故事和趣闻轶事,历史地导入新课题是老师们常用的招式。1998年4月20日在法国马赛由国际数学教育委员会发起举行了题为《数学史在数学教育中的作用》国际讨论会,各国数学教育家相互研讨了这一问题,取得了许多共识,华东师大张奠宙教授在“重视科学史在科学教育中的应用”中指出:在数学教育中,尤其在中小学数学教学过程中,运用数学史知识是进行素质教育的重要方面。下面我们来看看数学史在小学数学教学中的一些应用。
从孙子算经谈起
贾宪三角形的应用
鸡兔同笼问题
纵横图趣谈
东家流水入西邻
趣谈图形的拼补
数学名家的思想
从孙子算经谈起
孙子算经是我国古代的一部优秀数学著作,成书年代已无从考证。其中有“物不知其数问题”:
今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?
这类问题在我国历史上有不少有趣的名称:鬼谷算、秦王暗点兵、剪管术、隔墙算和神奇妙算及大衍求一术等。
这个问题常用程大位于1583年在算法统宗中介绍的一首诗“三人同行七十稀,五树梅花一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知。”来计算的。然而这里涉及到衍母70,21,15。小学生要想明白这些道理却不太容易!下面我们介绍华罗庚先生给出的一种“笨方法”:原问题就是求一数,三除余二,五除余三,七除余二。三除余二,七除余二,则二十一除余二,而23是三、七除余二的最小数,恰好被五除余三。另外还可以如下求解:先在纸上写2,2+3=5,5+3=8,它是五除余三的数,然后,8+15=23,它已经满足给出的所有条件。
下面我们再来看一道稍微麻烦一点的问题,它出自于黄宗宪的“求一术通解”:求一数,五除余零,七百十五除余十,二百四十七除余一百四十,三百九十一除余二百四十五,一百八十七除余一百零九。仔细读题后发现:5除余0是废话,247除余140,余数是5的倍数,原数是5的倍数,因此这句话可变为247×5=1235除余140,同样第四句话可变为391×5=1955除余245。现在从1955除余245,1235除余140出发:
245,245+1955=2200,4155,6110,8065,10020
245, 965, 450,1170, 655, 140,第二行是第一行除以1235的余数。依次试除,发现10020即为所求之数。
问题(杨辉《续古摘奇算法》):二除余一,五除余二,七除余三,九除余四,问本数。
贾宪三角形的应用
我国11世纪的数学家贾宪利用二项式高次幂展开式的各项系数所遵循的规律,制成了“开方作法本源”图,载入其《皇帝九章算法细草》中,虽然贾宪的著作已失传,但杨辉在《详解九章算法》一书中保存着这个“开方作法本源”图,而且杨辉说“出释锁算术,贾宪用此术”,下面我们从数学的角度来看看贾宪三角形的应用。
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
1 1
1   2 1
1 3 3 1
1   4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1   6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1     8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1   10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
贾宪三角形
贾宪三角形的有趣性质:我们从贾宪三角形中可以看出:(1)的展开式共有n+1项;(2)在的展开式中,与首末两端等远的项的系数相等;(3)如果的幂指数n是偶数,展开式中间一项最大,n是奇数时,中间两项相同且最大;(4)贾宪三角形第三条斜线1,3,6,10…即三角形数中任意相邻二数之和为平方数;(5)斜数第三列诸数的平方也恰好是;(6)斜数第四条斜线上诸数1,4,10,20,35,…即四面体数中相邻两数之和1+4,4+10,10+20,…恰好为;(7)如果p为质数,则第p行的数可以被p整除(两端的1除外);(8)i数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…;(9)第行的所有数字都是奇数。
贾宪三角形的几何特性:隐藏在贾宪三角形中的几何性质更是令人拍案叫绝,这是波兰数学家Waclaw Sierpinski(1882-1969)三角形带给我们的享受,这是最有意义的分形图之一。画一个三角形,把它的三条边的中点相连,得到一个与原三角形相似的三角形,把这个三角形移走,留下3个小三角