第六章 范数及矩阵函数.doc

第六章范数及矩阵函数
§1范数的基本概念
范数是更为一般反映向量间“距离”的量。
定义设数域F为复数域或实数域,为线性空间,为到R的映射,满足:
正定性对V中一切非零向量,有;
齐次性对V中一切向量及F中一切数k,有
;
三角不等式对V中一切向量,有;
则称是V上得范数,赋范线性空间。
注:由。
是V的一种范数。
例1 在中,有三种常用的向量范数,设
1—范数;
2—范数;
—范数
,其中。是上的P范数。
引理若实数,且,则对一切正实数a,b有
。
证明如图
,
。
而,得证。
定理 (Holder 不等式)设,
,则
,
其中,且。
证明第一个不等式显然成立,证最后一个不等式
首先当X和Y至少有一个为时,命题成立。
当时,令

定理 (Minkowski 不等式)设则

证明当时,命题成立。当时

在中定义,则对,都是中的范数,特别。
证明正定性及齐次性显然,下面证三角不等式:
当时,命题成立。
当时,令,于是
,
而,
例2设为上的范数,今有,定义
证明为上的范数

(正定性)
(齐次性)
定理 设为n维线性空间,为的一组基,于是中任一向量,。
又设为上的范数,今定义,,则为上的范数。
证明(正定性)
(齐次性)
,
。
设为线性空间上范数,则
1);
2);
3)设,为的一组基,,则
是的n维连续函数。
证明 1)由于。
若,故。
2),故
又
所以
3)


注:若,,。
设
,()
lim,lim()
,()
,()
对于有限维线性空间V的任两种范数必存在正实数,使对V中一切向量都有

证明当时,命题成立。
当时,设为的一组基,,
作,记,于是,
记,S是一个有界闭集
由于范数齐次性。
因为都是的连续函数,且,故是有界闭域S上连续函数,存在最大和最小值,记为,。
注:
推论在有限维线性空间V上,为V中范数,则
于是。
证明“”)
“”已知V上范数,且,
令,其中为在选定基下的坐标
由于
§2矩阵的范数
设,则记
,
,
。
对应于2—范数的矩阵范数,叫做Frobenius 范数,记,若U,V是酉阵,由于,,故。Frobenius 范数是酉变换的不变量,

当s=t=1时,设
,,。
显然有。
设分别为上矩阵范数,若对一切矩阵A及一切矩阵B有
。
则称以上三种矩阵范数是相容的,特别当这三种范数属于同一类时,便称这类矩阵范数是相容的。
矩阵范数及都是相容的;不相容。
证明举一反例即可说明
如:,则,
而,所以,不满足相容性。
再看,设,,于是
所以满足相容性。
对于Frobenius范数,设,,
,
。
而,



所以是相容的矩阵范数。
矩阵范数与虽然都是相容的,但也都有缺点。如,
。
对于Frobenius范数。
不要放得太大。
定理 设为()上某类范数,则对每一矩阵A
存在,且,为相容的矩阵范数。
证明首先是AY的分量之连续函数,AY是Y的分量之连续函数,故
是Y的分量之连续函数。
又根据与的可比较性知,是有界闭域,故存在,而。
正定性列非零矩阵A,,故的解空间维数至多为n-1,因此中必存在,,而,于是,所以的最大值恒正,
齐次性,取。


3)三角不等式:在下,
4)相容,当时也成立。
同样对B也有。
于是。
确定范数为算子范数()
设,则