最大似然估计.doc

最大似然估计是一种统计方法,它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。这个方法最早是遗传学家以及统计学家罗纳德·费雪爵士在1912年至1922年间开始使用的。
“似然”是对likelihood 的一种较为贴近文言文的翻译,“似然”用现代的中文来说即“可能性”。故而,若称之为“最大可能性估计”则更加通俗易懂。
目录
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1 预备知识
2 最大似然估计的原理
注意
3 例子
离散分布,离散有限参数空间
离散分布,连续参数空间
连续分布,连续参数空间
4 性质
泛函不变性(Functional invariance)
渐近线行为
偏差
5 参见
6 外部资源
[编辑] 预备知识
下边的讨论要求读者熟悉概率论中的基本定义,如概率分布、概率密度函数、随机变量、数学期望等。同时,还要求读者熟悉连续实函数的基本技巧,比如使用微分来求一个函数的极值(即极大值或极小值)。
[编辑] 最大似然估计的原理
给定一个概率分布D,假定其概率密度函数(连续分布)或概率聚集函数(离散分布)为fD,以及一个分布参数θ,我们可以从这个分布中抽出一个具有n个值的采样,通过利用fD,我们就能计算出其概率:
但是,我们可能不知道θ的值,尽管我们知道这些采样数据来自于分布D。那么我们如何才能估计出θ呢?一个自然的想法是从这个分布中抽出一个具有n个值的采样X1,X2,...,Xn,然后用这些采样数据来估计θ.
一旦我们获得,我们就能从中找到一个关于θ的估计。最大似然估计会寻找关于θ的最可能的值(即,在所有可能的θ取值中,寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化)。这种方法正好同一些其他的估计方法不同,如θ的非偏估计,非偏估计未必会输出一个最可能的值,而是会输出一个既不高估也不低估的θ值。
要在数学上实现最大似然估计法,我们首先要定义可能性:
并且在θ的所有取值上,使这个函数最大化。这个使可能性最大的值即被称为θ的最大似然估计。
[编辑] 注意
这里的可能性是指不变时,关于θ的一个函数。
最大似然估计函数不一定是惟一的,甚至不一定存在。
[编辑] 例子
[编辑] 离散分布,离散有限参数空间
考虑一个抛硬币的例子。假设这个硬币正面跟反面轻重不同。我们把这个硬币抛80次(即,我们获取一个采样并把正面的次数记下来,正面记为H,反面记为T)。并把抛出一个正面的概率记为p,抛出一个反面的概率记为1 − p(因此,这里的p即相当于上边的θ)。假设我们抛出了49个正面,31 个反面,即49次H,31次T。假设这个硬币是我们从一个装了三个硬币的盒子里头取出的。这三个硬币抛出正面的概率分别为p = 1 / 3, p = 1 / 2, p = 2 / 3. 这些硬币没有标记,所以我们无法知道哪个是哪个。使用最大似然估计,通过这些试验数据(即采样数据),我们可以计算出哪个硬币的可能性最大。这个可能性函数取以下三个值中的一个:
我们可以看到当时,可能性函数取得最大值。这就是p的最大似然估计.
[编辑] 离散分布,连续参数空间
现在假设例子1中的盒子中有无数个硬币,对于中的任何一个p, 都有一个抛出正面概率为p的硬币对应,我们来求其可能性函数的最大值:
其中. 我们可以使用微分法来求最值。方