下载此文档

西南大学《线性代数》(英文版)课件-第10部分.pdf


文档分类:高等教育 | 页数:约43页 举报非法文档有奖
1/43
下载提示
  • 1.该资料是网友上传的,本站提供全文预览,预览什么样,下载就什么样。
  • 2.下载该文档所得收入归上传者、原创者。
  • 3.下载的文档,不会出现我们的网址水印。
1/43 下载此文档
文档列表 文档介绍
该【西南大学《线性代数》(英文版)课件-第10部分 】是由【中国课件站】上传分享,文档一共【43】页,该文档可以免费在线阅读,需要了解更多关于【西南大学《线性代数》(英文版)课件-第10部分 】的内容,可以使用淘豆网的站内搜索功能,选择自己适合的文档,以下文字是截取该文章内的部分文字,如需要获得完整电子版,请下载此文档到您的设备,方便您编辑和打印。:.
g.
§ÙÝ

ÜHŒÆêƆÚOÆ
:.
g.
g.½Â
½Â
¡ê•P¥'un‡Cþx1;;xngàgõ‘ª
ax2+2axx+2axx++2axx
1**********n1n
+ax2+2axx++2axx
22223232n2n
+
+ax2
nnn
•ê•Pþ˜‡ng.,{¡g..P•
f(x1;;xn)½f:
:.
g.
g.Ý
dg.½ÂŒ•,ijž,aijâk½Â.e‰½,
i>jž,Paij=´
f(x;;x)=ax2+axx++axx
1n11112121n1n
+a21x2x1+a22x2++a2nx2xn
2
+
+an1xnx1+an2xnx2++annx2
n
Xn
=aijxixj:
i;j=1
,˜•¡,|^Ý
¦{•Œ±•B/L«g..
f(x1;;xn)=x1(a11x1+a12x2++a1nxn)
+x2(a21x1+a22x2++a2nxn)
+
+xn(an1x1+an2x2++annxn)
:.
g.
g.Ý
01
a11x1+a12x2++a1nxn
Ba21x1+a22x2++a2nxnC
=(x1;x2;;xn)BC
@A
an1x1+an2x2++annxn
0101
a11a12a1nx1
Ba21a22a2nCBx2C
BCBC
=(x1;x2;;xn)B...
***@............******@....A
an1an2annxn
=XTAX:
u´±{'/¤f=XTAX,Ù¥A¡•
Ý
.
:.
g.
dc¡5½Œ•aij=aji,i;j=1;;n,¤±
AT=A:
w,g.Ý
Ñ´é¡.
‰½˜‡g.,ÙÝ
´˜‡•˜(½é¡Ý
;‰½˜‡é
¡
,•Œ±•˜(½˜‡g..
g.†é¡Ý
˜˜éA.¡é¡Ý
A•••,
P•r(f).
:.
g.
~f
~~~¦g.
f(x1;x2;x3)=x24x1x26x1x3+2x2x2x3
12

.
)))Ï•
1
a11=1;a21=a12=2;a31=a13=3;a22=2;a32=a23=;a33=0:
2
¤±Ý

01
123
B221C:
***@2A
310
2
:.
g.
~f
~~~¦é¡Ý
01
0112
B1200C
BC
A=BC:
***@1033A
2030
g..
)))Ý
AL«g.•
0101
0112x1
B1200CBxC
f(x;x;x;x)=(x;x;x;x)BCB2C
12341234BCBC
***@******@x3A
2030x4
=2x1x2+2x1x3+4x1x4+2x2+3x2+6x3x4
23
:.
g.


•B,Ú\eãPÒ
010101
y1z1w1
By2CBz2CBw2C
BCBCBC
Y=B....CZ=B....CW=B....C:
***@.******@.******@.A
ynznwn
:.
g.
‚5O†
½Â
x1;x2;;xn;y1;y2;;yn´ü|Cþ,¡'Xª
8
>>>>x1=c11y1+c12y2++c1nyn;
<
x2=c21y1+c22y2++c2nyn;
()
>>>>
:
xn=cn1y1+cn2y2++cnnyn
´dx1;x2;;xny1;y2;;yn˜‡‚5O†,{¡•‚5
O†.eXê1ªjcijj6=0,K‚5O†()¡•šššòòòzzz.
:.
g.

¦{L«‚5O†
8
>>>>x1=c11y1+c12y2++c1nyn;
<
x2=c21y1+c22y2++c2nyn;
3¥-
>>>>
:
xn=cn1y1+cn2y2++cnnyn
010101
c11c12c1nx1y1
Bc21c22c2nCBx2CBy2C
BCBCBC
C=B............C;X=B....C;Y=B....C
***@...******@.******@.A
cn1cn2cnnxnyn
K‚5O†Œ±L«¤X=CY.
eCŒ_,K¡Ù•Œ_‚5O†,eC„´Ý
,K¡Ù
•‚5O†.
:.
g.
g.†‚5O†
f(x;x;;xn)=XTAX´˜‡g..Ššòz‚5
12
O†
X=CY;
˜‡'uy1;y2;;yng.
YTBY:
·‚5ïIJL‚5O†X=CY,A†Bƒm'X.

f(x;x;;x)=XTAX=(CY)TA(CY)=YT(CTAC)Y
12n
=g(y;y;;y)=YTBY:
12n
´•CTAC´é¡
,u´B=CTAC.
:.
g.
Ý
ÜÓ'X
½Â
A;B2Pnn,e•3ê•PþŒ_Ý
C¦
B=CTAC;
K¡A†B´ÜÓ.
ÝÝÝ
ÜÜÜÓÓÓ´´´˜˜˜‡‡‡ddd'''XXX.Ï•
ggg‡‡‡555A=ETAE;
ééé¡¡¡555dB=CTAC=)A=(C1)TBC1;
DDD444555dA=CTACÚA=CTAC
1112212
=)A=(CC)TA(CC):
21212
:.
g.
o(
²Lšòz‚5O†#g.Ý
†g.Ý
´
ÜÓ.
Ur¤•¹²•‘g.duTg.Ý
ÜÓu˜‡é
.g.Ý
ÜÓ†˜‡é
ž,
k
f(X)=f(CY)=dy2+dy2++dy2:
1122nn
ù«/ª¡•g.IO/.eIO/¥d1;;dn•
1;0,K¡þª•g.5‰/.
:.
g.
ÜÓÝ
5Ÿ
ÜÓÝ
äkƒÓ•,=A†BÜÓ,Kr(A)=r(B).
²LŒ_‚5O†X=CYƒ,(X)=XTAX
Ý
dAC¤CTAC,…r(f)ØC.
eAé¡,…A†BÜÓ,KB•´é¡
.
:.
g.
éÜÓ
½n
ê•Pþé¡Ý
†éÝ
ÜÓ.
yyy²²²A=(aij)nn´é¡Ý
.énŠêÆ8B.
(1)n=1ž,(Øw,.
(2)b(Øéun1é¡Ý
¤á.ey(Øéuné¡Ý
•¤á.Ø”A6=0…a116=
!!
a11 11
A=;C1=a11
TA10En1
K
!!!
10a11 11
CTAC=a11
111 TE TA
a11n110En1
:.
g.
éÜÓ
!
a110
=
0A2
Ù¥A2=A11 T ´yA2´˜‡é¡
,|^8Bb
a11
Œ•,•3Œ_Ý
C2¦CTA2C2´é
.-
2
!
10
C=C1
0C2
KC•´Œ_Ý
,…
!!
T10T10
CAC=TC1AC1
0C20C2
!!!!
10a11010a110
=T=T
0C20A20C20C2A2C2
ÏdCTAC´éÝ
.
:.
§g.IO/
ÜHŒÆêƆÚOÆ
:.
?¿ê•Pþg.
!0 ê•Pþg.IO/±9Eê•CÚ¢ê•Rþ
g.IO/.
Äkw?¿ê•Pþg.,dþ˜!•˜‡(Øá=Œ
½n
e
Xn
f(X)=XTAX=axx
ijij
i;j=1
•ê•Pþg.,K•3Œ_‚5O†X=CY,òf(X)z•IO
/
f(X)=f(CY)=dy2+dy2++dy2:
1122nn
:.
Eê•Cþg.
'uEê•Cþg.,keã½n
½n
e
Xn
f(X)=XTAX=aijxixj
i;j=1
•ê•Cþg.,…r(f)=r,K•3Œ_‚5O†X=CY,òf(X)z•
5‰/
f(X)=f(CY)=y12+y22++yr2:
yyy²²²dþ˜‡½nŒ•,•3Œ_‚5O†X=C1Z,òf(X)z¤IO/.
Ï•r(f)=r,¤±fIO/¥•kr‘š",Ø”cr‘š",u´IO
/•
f(X)=f(CZ)=dz2+dz2++dz2=ZTZ;
11122rr
Ù¥=diag(d1;d2;;dr;0;;0);CTAC1=.
1
:.
Eê•Cþg.
-
111
1=diag(p;p;;p;1;;1)
d1d2dr
Kk
T=diag(1;;1;0;;0):
11
u´,2dŒ_‚5O†Z=1Y,Kk
f(X)=f(CZ)=f(CY)=(CY)TA(CY)
1111111
=YT1C1TAC11Y=YTT1T11Y=YTdiag(1;;1;0;0)Y
=y2+y2++y2:
12r
Ï•1´Œ_Ý
,¤±C=C11•´Œ_Ý
.ÏLŒ_‚5O†
X=CYŒòf(X)z•5‰/.
:.
¢ê•Rþg.
'u¢ê•Rþg.,keã½n
½n
e
Xn
f(X)=XTAX=axx
ijij
i;j=1
•ê•Rþg.,…r(f)=r,K•3Œ_‚5O†X=CY,òf(X)z•
5‰/
f(X)=f(CY)=y2++y2y2y2:
1pp+1r
…šKêp´df•˜(½,=5‰/´•˜.
yyy²²²´•,•3Œ_‚5O†X=C1Z,òf(X)z¤IO/.Ï•
r(f)=r,¤±fIO/¥•kr‘š",Ø”cr‘š",u´IO/•
f(X)=f(C1Z)=d1z2+d2z2++drz2=ZTZ;
12r
٥=diag(d1;d2;;dr;0;;0);CTAC1=.ؔd1;;dp>0,
1
dp+1;;dr<0,
:.
¢ê•Rþg.
-
=diag(p1;;p1;p1;p1;1;;1)
1dd
1dpdp+1r
Kk
T1=diag(1;;1;1;;1;0;;0):
1
u´,2dŒ_‚5O†Z=1Y,Kk
f(X)=f(CZ)=f(CY)=(CY)TA(CY)=YTCTACY
**********
=YTT1Y=YTdiag(1;;1;1;;1;0;;0)Y
1
=y2++y2y2y2:
1pp+1r
Ï•1´Œ_Ý
,¤±C=C11•´Œ_Ý
.ÏLŒ_‚5O†
X=CYŒòf(X)z•5‰/.
e¡Xy²•˜5.
:.
¢ê•Rþg.
^‡y{,bp6=q,Ø”p>´
y2++y2y2y2=w2++w2w2w2()
1pp+1r1qq+1r
dX=CY=RW,ŒW=(R1C)Y.-R1C=(bij)nn,u´
8
>>>>>>>>>w1=b11y1+b12y2++b1nyn
><><
w2=b21y1+b22y2++b2nyn
()
>>>>>>>>>
>:>:
wn=bn1y1+bn2y2++bnnyn
•Äàg‚5•§|
8
>>>>b11y1+b12y2++b1nyn=0
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>
><><
bq1y1+bq2y2++bqnyn=0
>>>>>>>>>yp+1=0
>>>>>>>>>
>>>>
>:>:
yn=0
:.
¢ê•Rþg.
Tàg‚5•§|kn‡™•þ,n(pq)‡•§.Ïp>q,•§‡ê
u™•þ‡ê,¤±Tàg‚5•§|kš").
(y;;yp;y;;yn)T=(c;;cp;0;;0)T
1p+11
´˜‡š").òù‡š")“\(),Œ
(w;;wq;w;;wn)T=(0;;0;b;;bn)T:
1q+1q+1
“()Œ
c2++c2=b2b2
1pq+1r
Ïc1;;cpØ•",†mü>ÎÒؘ—,gñ.¤±p=q.
555333þþþãããggg...555‰‰‰///¥¥¥,¡¡¡p•••...555•••êêê,rp•••KKK...555•••êêê,
2pr•••ÎÎÎÒÒÒ .
:.
¢g.†‚5O†
ò¢g.†¢é¡éAå5,Œ
½n
e
Xn
f(X)=XTAX=axx
ijij
i;j=1
•ê•Rþg.,K•3‚5O†X=PY,òf(X)z•IO
/
f(X)=f(PY)=1y2+2y2++ny2:
12n
…1;2;;n´AAŠ.
:.
^‚5O†z¢g.•IO/Ú½
Ñg.Ý
A;
ò¢é¡
Aƒqéz.
~~~¦¢g.
f(x1;x2;x3;x4)=2x1x2+2x1x32x1x42x2x3+2x2x4+2x3x4
^‚5O†òÙz•IO/.
)))Ý

01
0111
BC
BBBB1011CCCC
A=BC:
***@1101A
1110
ÙAõ‘ª•

111

111 3
jEAj= =(+3)(1)
111

111
:.
~f
AAŠ•1=3,2=3=4=1.
éuAŠ1,¦)‚5•§|(1EA)X=0,ŒÙÄ:)X
1=(1;1;1;1)T
üz=Œ
1T
1=(1;1;1;1):
2
éuAŠ2,¦)‚5•§|(2EA)X=0,ŒÙ˜„)•
x1=x2+x3x4
u´ŒÙ˜‡Ä:)X
2=(1;1;0;0)T;3=(1;0;1;0)T;4=(1;0;0;1)T:
Schmidtüz=Œ
p1Tp1Tp1T
2=(1;1;0;0);3=(1;1;2;0);4=(1;1;1;3):
2623
ÏL‚5O†X=(1;2;3;4)YŒò¤IO/.
:.
~f
~~~^‚5O†ò•¡•§
2x2+3y2+3z22xy2xz=1
z•IO•§,¿•Ñ•§¤L«•¡.
)))g.
f(x;y;z)=2x2+3y2+3z22xy+2xz
KÝ
•01
211
A=BC:
***@130A
103
ÙAõ‘ª•

211
jEAj= =(1)(3)(4):
130
103
:.
~f
AAŠ•1=1,2=3;3=4.
éAŠi,i=1;2;3,)‚5•§|(iEA)X=0,©OÙÄ:)X
1=(2;1;1)T;2=(0;1;1)T;3=(1;1;1)T:
=Iüz=Œ
1T1T1T
1=p(1;1;1);2=p(0;1;1);3=p(1;1;1):
623
ÏL‚5O†
0101
xu
******@******@yCACA=(;;)******@******@vCACA
123
zw
Œò¤IO/
f=u2+3v2+4w2:
l
•¡•§z•
u2+3v2+4w2=1;
Ïdù´˜‡ý¥¡•§.
:.
§g.½5±9½Ý
ÜHŒÆêƆÚOÆ
:.
g.½5½Â
¢ê•Rþg.
f(X)=XTAX:
eéuRn¥?¿š"•þ ,Ñkf( )= TA >0,K¡f•½½½
(positivedeflnite)g..¿¡é¡
A´½Ý
;
eéuRn¥?¿š"•þ ,Ñkf( )= TA <0,K¡f•KKK½½½
(negativedeflnite)g..¿¡é¡
A´K½Ý
;
e•3 ; 2Rn¦f( )>0;f( )<0,K¡f´Ø½(indeflnite).
eéRn¥?¿š"•þ ,kf( )= TA 0…•3 6=0¦
f( )=0,K¡f•ŒŒŒ½½½(positivesemideflnite).
eéRn¥?¿š"•þ ,kf( )= TA 0…•3 6=0¦
f( )=0,K¡f•ŒŒŒKKK½½½(negativesemideflnite).
:.
XÛäg.½5
kw˜‡{ü~f:
~~~•Ñeg.½5:
f(x1;x2;x3)=x2+2x2+3x2
123
f(x1;x2;x3)=x2+2x23x2
123
f(x1;x2;x3)=x22x23x2
123
f(x1;x2;x3;x4)=x2+2x2+3x2
123
ÏLþ¡~fŒ•,g.±IO.½5‰/¡mÑy,§½5´
š~N´ä:
...555•••êêêuuuCCC‡‡‡êêê.
dž,g.•u.5•êuC‡ê.
:.
˜„œ/
|¯¯¯KKK˜„g.½5.
|®®®•••IO/½5‰/Œ†ä.
,˜•¡,
Œ_‚5O†
˜„g.!IO/½5‰/
•Œ_‚5O†é½5kÛK•?t˜ÙŒ_‚5O†Ú½5ƒ
m'XÒŒ±/Ïg.IO/5äg.½5.
¯¢þ,·‚k
:.
½n
Œ_‚5O†ò(K)½•(K)½g..=Œ_‚5
O†Ø¬UCg.½5.
yyy²²²(X)=XTAX´½,X=CY•Œ_‚5O†,
K
f(X)=(CY)TA(CY)=YT(CTAC)Y=g(Y):
e 6=0,K =C 6=0,l
g( )= T(CTAC) =(C )TA(C )=f(C )=f( )= TA >0:
=g(Y)E,´½g..
:.
A‡íØ
íØ
¢g.
f(X)=XTAX
•(K)½¿‡^‡´Ù(K).5•êun.
íØ
¢é¡
A½¿‡^‡´AAŠÜŒu".
íØ
½Ý
1ªŒu".
íØ
½Ý
†ü
ÜÓ.
:.
F‘dA½nSylvester
^^^SSSÌÌÌfffªªªÝ
A=(aij)nn,¡

a11a12a1k

aaa
21222k
... ;k=1;2;;n
...
...

ak1ak2akk
•A^SÌfª.
:.
F‘dA½nSylvester
½n
Xn
¢(X)=f(x1;x2;;xn)=aijxixj=XTAX½¿‡^‡´A
i;j=1
ˆ^SÌfªþŒu".
yyy²²²ky7‡f´½¢g..P
Xk
fk(x1;;xk)=f(x1;;xk;0;;0)=aijxixj;k=1;2;;n:
i;j=1
´•fk•´½.du½g.Ý
1ªŒu",l

a11a12a1k

a21a22a2k
... >0;k=1;2;;n
............

ak1ak2akk
:.
¿©5y²
2y¿©5.énŠêÆ8B{.
(1)n=1ž,f(x1)=a11x2,d^‡a11>0,w,f(x1)½.
1
(2)b(Øéun1g.¤á.e¡y²nœ/.P
!1!
An1 En1An1
A=T;C1=
ann01
K
!!1!
TEn10An1 En1An1
C1AC1=T1TT
(An1)1 ann01
!
An10
=T1
0ann An1
:.
¿©5y²
d8Bb,•3n1Œ_Ý
C2,¦
CTAn1C2=En1:
2
!
C20
-C=C1,u´CŒ_,…
01
T!!
TC20TC20
CAC=C1AC1
0101
T!!!
C20An10C20
=T1
010ann An1 01
!
En10
=T1
0ann An1
dujAj>0,ann TA1 >
A´½Ý
.
n1
:.
K½O
íØ
Xn
¢(X)=f(x;x;;x)=axx=XTAXK½
12nijij
i;j=1
¿‡^‡´AˆÛê^SÌfªþu",óê^SÌf
ªŒu".
:.
~f
~~~½g.
f(x;y;z)=5x2+y2+5z2+4xy8xz4yz
½5.
)))f(x;y;z)Ý
•01
524
BC
***@212A
425

a11a12 52
dua11=5>0, = =1>0,
a21a22 21

524 101 100
jAj= = = =1>0:
212 212 214
425 425 429
¤±f(x;y;z)•½g..
:

西南大学《线性代数》(英文版)课件-第10部分 来自淘豆网www.taodocs.com转载请标明出处.

相关文档 更多>>
非法内容举报中心
文档信息
  • 页数43
  • 收藏数0 收藏
  • 顶次数0
  • 上传人中国课件站
  • 文件大小1.36 MB
  • 时间2023-04-25