谈中考图形折叠问题.doc

谈中考图形折叠问题 谈中考图形折叠问题
童桂恒(浙江金华市第四中学 321000)
,而且也为“注重使学生经历观察、操作、推理、想象等过程,倡导自主探索、合作交流与实践创新的学****方式,以真正实现空间与图形的教育价值”起着导向和督促作用①.在近年来全国各地的中考试题中,图形折叠问题渐渐成了考查的热点问题.
一处理图形折叠问题的思想方法
,关键是抓住下面两点:(1)折叠前后的不变量:
此,折叠前后对应的边相等,对应的角相等.
(2)折叠前后的变化量:,折叠前后对应顶点之间的线段被折痕垂直平分.
二常见图形折叠问题的三种类型

三角形折叠有三种形式:主要形式是沿三角形一边上的中线(或高线、角平分线等)折叠;另两种形式是沿平行于底边的一直线折叠和使两顶点重合的折叠.
在△ABC中,已知AB=2a,∠A=30°,CD是AB边上的中线,若将△ABC沿CD
对折起来,折叠后两个小△ACD与△BCD重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC的面积的,有如下结论:①AC边的长可以等于a;②折叠前的△ABC的面积可以等于a2;③折叠后,以A、( )

(2003年天津市中考题)
分析题中给出的三个结论,①、②属存在性结论,我们可采用构图法予以解决.
构造图1-(1),AC= a ,∠A=30°,AD=DB=a,
则∠ADC=∠ACD=75°.把△ACD沿CD对折得图1-(2).根据折叠前后边角对应相等,在图中1-(2)中有:∠ADB=∠CDB-∠ADC=105°-75°=30°=∠A,因此AC∥DB;又AC=DB=a,故知四边形ACDB是平行四边形,S重叠部分=D=S△ACD=S△ABC ,所以结论①③也正确.
对于结论②可构造图1-(3),便知结论正确(如图1-(4)).
注释:①《数学教学实施指南》(初中卷)华中师范大学出版社2003年4月第1版第75页

这类问题折叠方式有四种:沿四边形的一条对角线(或一边上高线)折叠,沿平行一边的直线(如对称轴)折叠,沿指定的直线折叠和使两顶点重合的折叠.
例2 在边长为2的菱形ABCD中,∠B=45°,AE为BC边上的高,将△ABE沿AE翻折后得△AB′E,求△AB′E与四边形AECD重叠部分的面积.
(2001年上海市中考题)
分析如图2-(1),在Rt△ABE中,∵BE=ABcos45°=,∴CE=2-,B′E=BE>EC,∴点B′在EC的延长线上(如图2-(2)).
设AB′与CD交于点F,则△AB′E与四边形AECD重叠部分即为四边形AECF.
∵△ABE≌△AB′E,∴EB′=BE=,CB′=EB′-EC=-(2-)=2-2, ∠B′=∠B=45°,∠B′AE=∠EAB=45°.∴∠BAB′=90°,
即AB′⊥AB.∵CD∥AB,∴AB′