2017年数学中考压轴题汇编（二）.doc

2017年数学中考压轴题汇编(二)
26.(2017年长沙)如图,抛物线y=mx2﹣16mx+48m(m>0)与x轴交于A,B两点(点B在点A左侧),与y轴交于点C,点D是抛物线上的一个动点,且位于第四象限,连接OD、BD、AC、AD,延长AD交y轴于点E.
(1)若△OAC为等腰直角三角形,求m的值;
(2)若对任意m>0,C、E两点总关于原点对称,求点D的坐标(用含m的式子表示);
(3)当点D运动到某一位置时,恰好使得∠ODB=∠OAD,且点D为线段AE的中点,此时对于该抛物线上任意一点P(x0,y0)总有n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立,求实数n的最小值.
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)根据y=mx2﹣16mx+48m,可得A(12,0),C(0,48m),再根据OA=OC,即可得到12=48m,进而得出m的值;
(2)根据C、E两点总关于原点对称,得到E(0,﹣48m),根据E(0,﹣48m),A(12,0)可得直线AE的解析式,最后解方程组即可得到直线AE与抛物线的交点D的坐标;
(3)根据△ODB∽△OAD,可得OD=4,进而得到D(6,﹣2),代入抛物线y=mx2﹣16mx+48m,可得抛物线解析式,再根据点P(x0,y0)为抛物线上任意一点,即可得出y
0≥﹣,令t=﹣2(y0+3)2+4,可得t最大值=﹣2(﹣+3)2+4=,再根据n+≥,可得实数n的最小值为.
【解答】解:(1)令y=mx2﹣16mx+48m=m(x﹣4)(x﹣12)=0,则x1=12,x2=4,
∴A(12,0),即OA=12,
又∵C(0,48m),
∴当△OAC为等腰直角三角形时,OA=OC,
即12=48m,
∴m=;
(2)由(1)可知点C(0,48m),
∵对任意m>0,C、E两点总关于原点对称,
∴必有E(0,﹣48m),
设直线AE的解析式为y=kx+b,
将E(0,﹣48m),A(12,0)代入,可得
,解得,
∴直线AE的解析式为y=4mx﹣48m,
∵点D为直线AE与抛物线的交点,
∴解方程组,可得或(点A舍去),
即点D的坐标为(8,﹣16m);
(3)当∠ODB=∠OAD,∠DOB=∠AOD时,△ODB∽△OAD,
∴OD2=OA×OB=4×12=48,
∴OD=4,
又∵点D为线段AE的中点,
∴AE=2OD=8,
又∵OA=12,
∴OE==4,
∴D(6,﹣2),
把D(6,﹣2)代入抛物线y=mx2﹣16mx+48m,可得﹣2=36m﹣96m+48m,
解得m=,
∴抛物线的解析式为y=(x﹣4)(x﹣12),
即y=(x﹣8)2﹣,
∵点P(x0,y0)为抛物线上任意一点,
∴y0≥﹣,
令t=﹣4my02﹣12y0﹣50=﹣2y02﹣12y0﹣50=﹣2(y0+3)2+4,
则当y0≥﹣时,t最大值=﹣2(﹣+3)2+4=,
若要使n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立,则n+≥,
∴n≥3,
∴实数n的最小值为.
26.(2017年湖南省邵阳市)如图所示,顶点为(,﹣)的抛物线y=ax2+bx+c过点M(2,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点A是抛物线与x轴的交点(不与点M重合),点B是抛物线与y轴的交点,点C是直线y=x+1上一点(处于x轴下方),点D是反比例函数y=(k>0)图象上一点,若以点A,B,C,D为顶点的四边形是菱形,求k的值.

【分析】(1)设抛物线方程为顶点式y=a(x﹣)2﹣,将点M的坐标代入求a的值即可;
(2)设直线y=x+1与y轴交于点G,易求G(0,1).则直角△AOG是等腰直角三角形∠AGO=45°.点C是直线y=x+1上一点(处于x轴下方),而k>0,所以反比例函数y=(k>0)图象位于点一、、三象限,因此符合条件的菱形只能有如下2种情况:
①此菱形以AB为边且AC也为边,②此菱形以AB为对角线,利用点的坐标与图形的性质,勾股定理,菱形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征求得k的值即可.
【解答】解:(1)依题意可设抛物线方程为顶点式y=a(x﹣)2﹣(a≠0),
将点M(2,0)代入可得:a(2﹣)2﹣=0,
解得a=1.
故抛物线的解析式为:y=(x﹣)2﹣;
(2)由(1)知,抛物线的解析式为:y=(x﹣)2﹣.
则对称轴为x=,
∴点A与点M(2,0)关于直线x=对称,
∴A(1,0).
令x=0,则y=﹣2,
∴B(0,﹣2).
在直角△OAB中,OA=1,OB=2,则AB=.
设直线y=x+1与y轴交于点G,易求G(0,1).
∴直角△AOG是等腰直角三角形,
∴∠AGO